片持ちはりの問題｜最大曲げ応力と自由端のたわみの関係

質問

• 円形断面d=25mm 長さL=1m の軟鋼製片持ちはりの自由端に集中荷重Wが作用した時、最大曲げ応力が108GPaを超えないようにするには自由端のたわみはいくらまで許せるかを求めます。
• 自由端からの距離xでの曲げモーメントとたわみy(x)を求め、最大曲げ応力が108GPaを超えない範囲で荷重Wを決定します。
• しかし、計算結果に誤差があり、正確な結果が得られません。どなたか解決方法を教えていただきたいです。

回答No.1

Hyokko_Lin · ベストアンサー

片持ち梁では、固定端で最大の曲げモーメントが発生し、その大きさはM = WLとなります。
固定端での最大曲げ応力は部材の外縁において発生するため、
断面係数をZ、最大曲げ応力をσaとすると、
M / Z = σa
となります。
よって、許容荷重Waは、Wa = σa * Z / L です。

一方、自由端のたわみδは、断面二次モーメントをIとすると、
δ = WL^3 / (3*E*I)
となります。
よって、許容たわみδaは、Wに先ほどのWaを代入し、
δa = σa * Z * L^2 / (3 * E * I)
となります。

ここで、I / Zは中立軸から外縁までの距離なので、円形断面の場合I / Z = d/2となります。
（ちなみに、I = πd^4 / 64、Z = πd^3 / 32です）
これも代入すると、δaは最終的に
δa = 2 * σa * L^2 / (3 * E * d)
となります。

これに問題の諸元を代入すると、
δa = 1.398 ≒ 1.4 cm
となります。
（最大曲げ応力は108MPaですよね？）