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広義重積分 f(x, y)=1/√(1-xy)

D={(x,y)|0≦y≦x<1}, f(x, y)=1/√(1-xy) これの解き方がわかりません。 積分範囲を [0, x]*[0,x-(1/n)] にしてやってみましたが、 これだと発散してしまいました。 u=xy, v=y/x として変数変換も考えてみましたが ヤコビアンを考えるとうまくできませんでした。 どのように計算すればよいでしょうか。。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.2

>積分範囲を >[0, x]*[0,x-(1/n)] >にしてやってみましたが >これだと発散してしまいました。 積分範囲が間違ってるでしょう。 正しい積分範囲で積分すれば発散しませんよ。 I=∬[D] 1/√(1-xy) dxdy =∫[0,1]{∫[0,x] 1/√(1-xy) dy}dx =∫[0,1]{[-(2/x)√(1-xy)][y:0,x]}dx =∫[0,1] (2/x){1-√(1-x^2)}dx = lim[x→1][2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}] -[2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}]|(x=0) = 2-(2-2+2log2) = 2-2log2

duffyuki
質問者

補足

Xの範囲が 0≦x≦1になっていますが 1を含んでもいいのですか？

その他の回答 (3)

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.4

#2です。 A#2の補足質問の回答 > xの範囲が > 0≦x≦1になっていますが > 1を含んでもいいのですか？ 含んでいませんよ。 D={(x,y)| 0≦y≦x<1} >I= lim[x→1-0] [2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}] > -[2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}]|(x=0) と積分した原始関数のxには1を代入するのではなく x→1-0　と極限を とってやれば良いですよ（実質はx=1を代入した時と同じ値になるにしてもです）。 そうすると > = 2-(2-2+2log2) > = 2-2log2 と積分の計算が完結します。

duffyuki
質問者

お礼

単純なことを勘違いしてわかっていませんでした。 よく理解できました。 ありがとうございました。

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

[0,x]＊[0,x-(1/n)] じゃ、y≦x をはみ出してしまうでしょ。 広義積分なんだから、未定義端では極限をとって、 0≦y≦x≦u での積分を u→1-0 すればよいです。

duffyuki
質問者

お礼

ありがとうございました。

  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.1

良いんでないの・・・！？ 当方も積分計算を実行すると対数が出てきちまうんで、定積分の下限値0によって → +∞ に発散する！

duffyuki
質問者

補足

ですよね。。 私もそうなりました。 先生が作ってくださった演習用問題なのですが、 問題が “広義積分を求めよ” で、 しかも他の問題はすべて収束したので、不安に思っています。

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