浴槽のお湯の温度について

質問

浴槽のお湯の温度について

以下の条件のもとで、浴槽にお湯を入れる。

・浴槽には、Ｘ℃のお湯が単位時間当たりAリットル注がれる
・外気の温度はＹ（＜Ｘ）℃である
・浴槽は一辺の長さがbの立方体の形をしている
・浴槽は断熱材でできているとし、浴槽の側面、底面からの熱の出入りはないものとする。
・外気と接している面からの熱の出入りはあるものとする
・外気とお湯の間の熱伝導率はαとする
・お湯が容器からあふれるまでを考える。
・お湯の蒸発は考えない。

以上の条件のもとで
時刻ｔにおける浴槽のお湯の温度が知りたいです。
足りない定数などがあったら使ってもらって構いません。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

浴槽の温度はいつもお湯の温度と一致し熱のやりとりが生じないようにうまいこと制御してあるので無視してよし。また、浴槽に入ったお湯は既に入っているお湯と瞬時に一様に混ざる。
という条件を追加。浴槽のサイズ云々は関係ないものとして無視します。

　計算が簡単になるよう、外気温を基準にして温度を測る（つまり外気温Yを0度だと思う）ことにしましょう。
　浴槽内のお湯の質量をW(t)とすると、単位時間当たりAだけ入ってくるんで、
　　W(t) = A t
　浴槽内のお湯の持つ総熱量をQ(t)とすると、浴槽内のお湯の温度T(t)は、比熱をCとして
　　CW(t)T(t) = Q(t)
そして、単位時間に流入する熱量は、CA(X-Y)である。
　単位時間に水面から逃げて行く熱量をq(t)とする。そうすると、浴槽の熱の収支は
　　dQ/dt = CA(X-Y) - q(t)
となるでしょう。ここで、q(t)は温度Tに比例するから、その比例係数をpとして(もちろんpは、質問にお書きの「熱伝導率」から計算される定数のはずだけど、その詳細はサボることにしました。）
　　q(t) = p T(t)
まとめると、
　　Q’ = CA(X-Y) - (p/C/A)Q/t
つまり b = p/C/A, a = CA(X-Y) とおけば
　　Q’ + bQ/t = a,
という微分方程式。これを解くと、積分定数をDとして
　　Q = D(t^(-b))+(at/(1+b))
となりますが、 t→0で発散しないためにはD=0。なので、
　　Q(t) = at/(1+b)
　　T(t) = Q(t)/(CAt) = a/(1+b)/(CA)
　　b = -p/C/A, a = CA(X-Y)より
　　T(t) = (X-Y)/(1+p/(CA))
　結局、温度はtに依らず一定値になる。面白いですね。

　しかしながら、tがうんと小さい時(浴槽がほとんど空っぽの時)には、ちょっとしたカゲン（揺らぎや実験系の誤差）でD(t^(-b))の項が復活してもおかしくなくて、その際にDがいくつになるかは不定。つまりこの解はちょっとだけ不安定性を持っている。けれども、tが大きくなるとどのみちこの項は0に収束するから、tが少し大きくなれば、問題なく、「温度はtに依らず一定値」と言えるでしょう。

お礼

ありがとうございます！！
かなり助かりました。！！