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体積が変化する場合の熱量について

以下の条件のもとで浴槽にお湯を入れます。 ・浴槽には、X℃のお湯が単位時間当たりAリットル注がれる ・外気の温度はY(<X)℃である ・浴槽は一辺の長さがbの立方体の形をしている ・浴槽は断熱材でできているとし、浴槽の側面、底面からの熱の出入りはないものとする。 ・外気と接している面からの熱の出入りはあるものとする ・外気とお湯の間の熱伝導率はαとする ・お湯が容器からあふれるまでを考える。 ・お湯の蒸発は考えない。 以上の条件のもとで 時刻tにおいて浴槽のお湯が持つ熱量はどのように表せるでしょうか? 必要なら水の比熱や水の密度を用いてもらって構いません。

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回答No.1

おら、途中まで考えたんだけど、数学よくわかんないんで???になっちゃった。 ま、ヒントくらいにはなるかもしれないから、とりあえず掲せておく。 ・浴槽内のお湯の温度は均一である ・外気の温度は均一で一定である という条件も必要ですが、 ・水の温度による比重の変化は考慮しない としたほうがらくだと思います。 まず、一般的な式をたてるとすると、 dT/dt = -a(T-Y)になるのかな。(T温度、t時間) aがどうなっているのかを考えると、 k・熱伝導率・表面積/体積 になるようなきがするから、 a=kαh, hは(kはとりあえずつけた任意定数)水深ってことになるかな。 それでもって、水深を時間の関数で表したものを突っ込んで、(h(t)は水が一杯になる時点で微分可能な関数ではないので)水がいっぱいになるまでのものとそれ以降のものを分けて考えて、微分方程式を解き、初期条件と、あといくつかの条件を突っ込めば答えの関数が求められるはず。 いっぱいになったあとは、一般的なものになるね。 T(t)=Ce^(-at)+T0 それ以前は、 h(t)=At/b^2だから、 dT/dt = -(kαA/b^2)t(T-Y)になるけど結局のところ dT/dt=-kt(T-Y)を解くのと一緒だけど、 このさきがよくわからん。

whereru_1
質問者

お礼

質問に答えてくれてありがとうございます。 ただ、一つ気になるところがあります。 aはhに反比例するのではないでしょうか? 面積を体積で割ったら、1/hになると思うのですが?

whereru_1
質問者

補足

aは水深に反比例するのではないでしょうか? 表面積/体積だと、1/hになると思うんですが?

その他の回答 (1)

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回答No.2

>aはhに反比例するのではないでしょうか? >面積を体積で割ったら、1/hになると思うのですが? その通りでした。 失礼しました。 水深が深いほうが(水量があるほうが)、 水の温度の低下する速度は低くなりますので、 感覚的にもそちらのほうがすんなり着ますね。 ということで、最後の微分方程式は、 dT/dt=-(k/t)(T-Y) になるのかな。

whereru_1
質問者

お礼

答えてくれてありがとうございます。 おかげでスッキリしました!!

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