流体静力学の問題を教えて下さい

質問

次の問題を教えて下さい。公式などを調べて見ましたが解き方がさっぱりわかりませんでした…よろしくお願いします。

長さ12l、幅b、密度ρで、厚さに比べ十分な長さのある一様な長方形の板が、板の短辺からlの距離で自由に回転できるように深い容器が取り付けられている。
この容器に密度3ρの液体を入れ、図のように面積Sの部分が液体中に沈んで釣り合った時、面積Sはいくらになるか。

回答No.1

FT56F001

使う式は
・アルキメデスの原理: 浮力は押しのけた液体の重さと等しい。
・力のモーメントのつりあい
だけです。
板の厚みをδ，支点から重心までの距離をd，液体に浸った距離をc，板の傾きをθ，重力加速度をgとおきます。

浮力F2は，アルキメデスの原理から，F2=Sδ3ρgです。
c=S/bで，支点から浮力中心までの距離は，11l－c/2ですから，
浮力によるモーメントは，Sδ3ρ(11l－S/b)cosθです。

重力F1は，支点中心の2l区間はキャンセルしているので，F1=Sδρg*10/12です。
残り10l区間の重心は左から10lにあります。よって，
支点から重力の中心までの距離dは11l-5l=6lです。
重力によるモーメントは，Sδρg*(10/12)6l*cosθです。

これらのモーメントがつりあう式から，S=28lb/3となります。