• ベストアンサー

チェビシェフの不等式 証明について

申し訳ありませんが、チェビシェフの不等式の証明途中において、疑問があったので、部分的に質問します。 μ:確率変数Xの平均  k:任意正数  σ^2:確率変数Xの分散 とした場合のチェビシェフの不等式の証明で、 (x-μ)^2 >= k^2 * σ^2 としていたところがありました。なぜ”(x-μ)^2”は”k^2 * σ^2”以上といえるのか説明お願いします。。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

(X - μ)^2 ≧ (k^2)(σ^2) であることが言えるのではなく、 (X - μ)^2 ≧ (k^2)(σ^2) となる確率を不等式で見積もる 式が「チェビシェフの不等式」です。 出典を、よく読み直してごらんなさい。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

x に何か条件はついてませんか?

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • チェビシェフの不等式について

    乱数サイを投げるときに出る目の数をXとする。このとき確率P(|X-4.5|>=3)に対してチェビシェフの不等式が成り立つことを確かめるために この P(|X-μ|>=ε) <= (σ^2)/(ε^2)  (確率変数Xの平均がμ、分散がσ^2、任意の正の数ε) 式に値を代入したいのですが σ^2の求め方が分からないのですが、ご教授お願いします

  • チェビシェフの不等式

    すいません、質問です。 チェビシェフの不等式ってありますよね?? もし確率変数がベクトルになればどのような関係式に変わるのでしょうか?? よろしくお願いします。

  • チェビシェフの不等式は最良評価ですか?

    少し思いつきで質問します。 有名なチェビシェフの不等式、 P(|X-E[X]|>ε)≦V[X]/ε^2 がありますが、これは二次モーメントまで存在する確率変数だったら常になりたちます。これから平均値周りの標準偏差のn倍のところまで、全体の~%が含まれる、などという結論は導けますよね。もちろん分布がたとえば正規分布ということが分かっていればより精密な評価ができますけど、分布の具体形が不明であるような場合にこの手の不等式評価で知られているものは、このチェビシェフの不等式が最良なのでしょうか。εとしてたとえば、3V[X]^{1/2}を取ってみれば、平均からのずれが標準偏差の3倍以内に入っていない確率は1/9以下という結論が得られますが、あまりにも大雑把な評価でしかない気がして少しだけ不満に思いました。

  • チェビシェフの不等式の解き方

    チェビシェフの不等式において、分布が0から5の間で、 P{x: |x-2.5|>=1.2σ}。σについて求めよで、解答が 0.69になります。 どのように式を組み立てて解答を導き出せばよいか わかりません、教えてください!!おねがいっす!! P(|X-μ|>=kσ)<=1/k^2 という式をどうにかすれば よいとはおもうのですが・・・!!

  • チェビシェフの不等式について

    出来事w∈Ω の関数f(w)を考える。 チェビシェフの不等式(その1)として、 『P({w|w∈Ω,f(w)≧t})≦<f(w)>/t』 (f(w)がtより大きくなる確率≦平均/t) の直感的な意味を図と文で説明したいのですがどうすればいいですか?? せめて文だけでも教えてください! この形のチェビシェフの不等式が調べてもなかなか見つからないので困ってます…(>_<)

  • Xはポアソン分布をμ=100で持つとせよ。P(75<X<125)における下界を決定する為にチャビシェフの不等式を使え

    皆様,こんにちは。確率の問題なのですがどうぞ宜しくお願い致します。 [問題]Xはポアソン分布をμ=100で持つとせよ。P(75<X<125)における下界を決定する為にチャビシェフの不等式を使え。  なのですがどのようにして解けば宜しいのでしょうか? ググってみましたら ポアソン分布とは 「ポアソン分布 特定の事象が起こる確率pはきわめて小さいが、試行回数nが非常に多いためにその 事象が何回かは起こるときその生起回数の分布として表れる。 パラメータλのポアソン分布の確率密度関数は p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である。ポアソン分布の平均、分散はともにλである」 といったものです。 チェビシェフの不等式とは 「確率変数Xの平均E[X]=μ,分散V[X]=σ^2が共に有限ならば任意のk(>0) 対して,P(|X-μ|≧kσ)≦1/k^2 ※離散の分布,連続の分布問わずこの不等式成立する」

  • チェビシェフの定理と大数の法則

    平均をm、標準偏差をs、サイズN、値をx_k、度数をf_kとしたとき チェビシェフの定理は m-ks<x<m+ks (k>=1) なる範囲にあるデータは(1-1/k^2)*N以上である と本にあり、それの証明で s^2=Σ(k=1からn)(x_k-m)^2*f_k >=Σ(|x_k-m|>=ksなるkの和)(x_k-m)^2*f_k/N >=Σ(|x_k-m|>=ksなるkの和)(ks)^2*f_k/N・・(1) =(ks)^2/NΣ(|x_k-m|>=ksなるkの和)f_k・・(2) より Σ(|x_k-m|>=ksなるkの和)f_k<=N/k^2 よって Σ(|x_k-m|<ksなるkの和)f_k>=(1-1/k^2)*N と証明しているのですが(1)から(2)にするときΣはkの和をとっているのになぜ(ks)^2のkをΣから勝手に出せるのでしょうか? また大数の定理 同一期待値μ、同一分散σ^2を持つ互いに独立な確立変数の平均を X~=(X_1+X_2+・・・+X_m)/n とおけば任意のεについて n→∞のとき、P(|X~-μ|<ε)→1 が成り立つ。 とありますがそもそもP(|X~-μ|<ε)というのが非常に理解しがたいのです この定理を理解するためになにか簡単な具体例とかをできれば教えてください。 またこの定理の証明でチェビシェフの定理で k=ε/s,s=σ/√nとおいて証明していますが このようにおく根拠or理由というのが全く想像がつきません。 長い文章になってしまい申し訳ありませんがぜひぜひ教えてくださいお願いします。

  • 不等式の証明

    y=1/x のグラフを利用して、次の不等式 1/k+1 < ∫[k→k+1] 1/x dx < 1/k を証明しなさい。ただしkは自然数とする。 と言う問題です。 反比例のグラフを使ってどのように証明をすれば良いのか検討がつきません。どのように考えて、どのように証明をすれば良いのでしょうか?

  • 確率変数、平均、分散の証明問題

    連続的な値をとる確率変数Xの平均をμ、分散をzとする。Y=aX+b、a≠0なる新たな確率変数を考えたとき、その平均と分散がそれぞれaμ+b、a*a*zとなることを証明せよ。 の解答をお願いします。

  • 不等式の証明

    1-[x^2/2]<cosx<1-[x^2/2]+[x^4/24] [x≠0] という不等式を証明したいのですが、 cosx<1-[x^2/2]+[x^4/24]の部分がうまく証明できません。 f[x]=1-[x^2/2]+[x^4/24]-cosxとおいて、微分してみても、うまくいきません。 この証明方法を教えて下さい。 よろしくお願いします。