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πは何処へ？
正方形の内部（辺を含む）に、任意の円が互いに接するように 描きます。正方形をそうした円で無限に埋め尽くせば、正方形の 面積に等しくなるはずです。このとき、πはどのようにしてなくなる のでしょうか。 あるいはそのようなことを扱う数学がありましたら、書籍なりを教 えていただけないでしょうか。ただし、高校数学の知識しか持ち合 わせておりません。
- 数学・算数
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問題があっての質問でしたら、出来るだけ問題を詳しく教えて貰った方が、適切な回答が出来ます。 それは置いといて・・・ 仰る通りですが、１つ勘違いがあるとしたら、πを不定数か何かだと思ってはいないでしょうか？ πは円周率という定数なので、無限に円の面積を正方形の中に入れていったら、正方形の面積になるでしょうし、 その値にπが含まれようと、πは定数なので、無くならなくても問題はありません。
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- alice_44
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πは何処へ？ねえ。 正方形の面積 = 円の面積 + 円の面積 + 円の面積 + … の「…」の彼方へ行ったかな。 小学校で円の面積を最初に習ったとき、円を分割して 円の面積 = 三角形の面積 + 三角形の面積 + 三角形の面積 + … とやったでしょう。 生まれ故郷へ帰って行ったんですよ。
お礼
ありがとうございます。三角形の面積を次々と加算してゆくと円の 面積になると、小学校で習った覚えはないです。授業中、眠ったこ とはないです。 読解力がないので申し訳ないのですが、生まれ故郷って何処で しょう？
- mide
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残りのすきまを埋め尽くすように多数の円を描いていけば，円の合計の面積は正方形の面積に限りなく近づくでしょうが，それでπが変わるわけでもなくなるわけでもありません。 円で埋め尽くすのでなく，元の正方形から45度回転した，対角線がちょうど元の正方形の辺に一致する正方形を元の正方形の中に描き，残りのすきまをまた縮小した正方形で埋めることを繰り返していく場合でも，いつまでもすきまは残りますが合計面積は限りなく元の正方形に近づきます。しかしだからといって正方形の辺と対角線の比とか正方形の辺と面積の関係が変わるわけではありません。 収束のしかたは，どの図形で埋め尽くすかにより変わってきますが…。
お礼
ありがとうございます。なるほど。比と考えれば何となく納得できる 気がします。
- rnakamra
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有理数の値をとる数列の和が1/πの有理数倍になることがあります。 wikipediaの円周率の項をみるとそのような式が書いてあります。(参考URLにあるラマヌジャンの式の2番目のやつ) このことから、πの有理数倍を無限に足し合わせることで有理数を生み出すことが可能であることがわかります。
お礼
ありがとうございました。すっきりしました。今日から、良く眠れます。
正方形を円で覆い尽くせたらパイはなくなるでしょうが、 覆い尽くせないのではないのか？ limを求めることになるが、覆い尽くせないので 結局、極限値がもとまらない。
お礼
ありがとうございます。確かにそのようにも考えてみました。何となく しっくりしなかったものですから…
お礼
ありがとうございます。ご指摘のように不定数のようなものと思い込 んでいたことは確かです。「定数」、そうですね。