図形問題です。

質問

α、βが０≦α≦π/２、０≦β≦π/２、α＋β＝２π/３を満たしながら変化する時、
点P（cosα+cosβ,sinα+sinβ）と原点Oとの距離の最大値と最小値を求めよ。

という問題です。どう解けばいいのでしょう？
解き方に制限は無いので、「一番簡潔な解き方」を教えて下さい。
答えを出すだけでなく、自分でもちゃんと理解したいので、途中式や解説なども出来れば残してください。

解き方に制限は無いのですが、数IIBまでの範囲での解き方でお願いします・・・。

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞答えを出すだけでなく、自分でもちゃんと理解したいので、
＞途中式や解説なども出来れば残してください。
とのことですが、どうもご自分では計算をされていないようですね・・・。
書かれている答えを眺めているだけでは、理解は難しいかと。

＞「α-βの範囲は条件により-2/3*π≦α-β≦2/3*πとなる」のは
＞何故か分らないので、良ければ教えてください。
まさに、#2の最初に書いている内容です。
α＋β＝２π/３より、β＝ 2π/3-α
すると、αに関する2つの不等式は
0≦ α≦ π/2、0≦ 2π/3-α≦ π/2となります。
連立させて解けば、αの範囲がでてきます。

#1さんの回答では、α＋β＝２π/３の条件が抜けてしまっているだけです。

そして、先生の回答はきちんと合っています。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

まずは、言い換えられるところを言い換えてから・・・

・α、βが０≦α≦π/２、０≦β≦π/２、α＋β＝２π/３
これから、βはαで表せます。
そして、範囲の条件から、αのとりうる値の範囲（定義域）も求められます。

・点P（cosα+cosβ,sinα+sinβ）と原点Oとの距離
距離の 2乗を計算するべきでしょう。
そして、整理しきったところで、その関数の最大と最小を調べることになります。
当然、「αの式」として整理することになります。

回答No.1

Mathmi

以下の解き方が数IIBまでの範囲なのかは不明なのですが、一応。

まず線OPの長さを、三平方の定理から求めます。
((cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2)^(1/2)
=((cosα^2+2cosαcosβ+cosβ^2)+(sinα^2+2sinαsinβ+sinβ^2))^(1/2)
=(sinα^2+cosα^2+sinβ^2+cosβ^2+2cosαcosβ+2sinαsinβ)^(1/2)
sinA^2+cosA^2=1、cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)なので
=(2+2cos(α-β))^(1/2)

α-βの範囲は条件により-2/3*π≦α-β≦2/3*πとなるので、最大値はα-β=0の時、最小値はα-β=2/3*π=-2/3*πの時となる。

最大値=(2+2cos0)^(1/2)
=(2+2)^(1/2)
=2

最小値=(2+2cos(2/3*π))^(1/2)
=(2+2*(-1/2))^(1/2)
=1

よって最大値は2、最小値は1である。

お礼

回答ありがとうございます。

「α-βの範囲は条件により-2/3*π≦α-β≦2/3*πとなる」のは何故か分らないので、良ければ教えてください。
また、答えは最大値が２、最小値が√３になるはずなのですが、これでは最小値が違うようです。
ただ、この答えを書いたのは先生なので、答えがそもそも正しいかは怪しいです・・・。