定積分の問題です。

質問

以下の問題の解き方を教えてください。

回答No.2

dreamfighter · ベストアンサー

まず∫e^-x sinx dx を計算しましょう。この計算はできますか？参考書に載っているので確認してください。

Ｉ＝∫e^-x sinx dx とおく。
Ｉ＝∫sinx (-e^-x)' dx=-e^-x sinx + ∫e^-x cosx dx
　＝ -e^-x sinx + ∫cosx (-e^-x)' dx=-e^-x sinx -e^-x cosx - ∫e^-x sinx dx
　＝-e^-x (sinx+cosx)-I +C(積分定数)
∴2Ｉ＝-e^-x (sinx+cosx)+Ｃ　∴Ｉ＝(-1/2)　e^-x (sinx+cosx)+Ｃ　

次に絶対値を外すことを考えましょう。積分区間に注目するのですが、積分区間の幅がπであることがポイントです。自然数nが奇数の時は積分区間が、n=1の時0→π、n=3の時2π→3πとなりsinxは正です。また自然数nが偶数の時は積分区間が、n=2の時π→2π、n=4の時3π→4πとなりsinxは負です。

(1)nが奇数の時
（与式）＝((n-1)π→nπ)∫e^-x sinx dx＝[(-1/2)　e^-x (sinx+cosx)](n-1)π→nπ
=(-1/2) e^-nπ (sinnπ+connπ)-(-1/2)e^(-(n-1)π) (sin(n-1)π+cos(n-1)π)
＝(-1/2) e^-nπ (0-1)-(-1/2)e^((1-ｎ)π) (0+1)=(1/2)e^-nπ　(1+e^π)

(2)nが偶数のとき
（与式）＝((n-1)π→nπ)∫e^-x (-sinx) dx＝-[(-1/2)　e^-x (sinx+cosx)](n-1)π→nπ
=(1/2) e^-nπ (sinnπ+connπ)-(1/2)e^(-(n-1)π) (sin(n-1)π+cos(n-1)π)
＝(1/2) e^-nπ (0+1)-(1/2)e^((1-ｎ)π) (0-1)=(1/2)e^-nπ　(1+e^π)

（１）（２）より
与式＝(1/2)e^-nπ　(1+e^π)　（答え）