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表面積一定の四面体で最大体積のものは正四面体
mlmgr6859の回答
- mlmgr6859
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代数の考えで。 ただの四面体は三角形の形が自由。 隣り合う面は、同じ長さの辺を共有。 辺六本を六個の変数にして、そのときの面積と体積を文字式で表す。 体積÷面積 の文字式を最大にする六個の変数が出れば良さそう。 でも三角形の面積から出し方が難しそう。 底辺に頂点から高さ方向の補助線を引いて、直角三角形を二個つくり、３平方の定理から高さを決定すれば出来るかも。 あと六変数に立体を組むための制約がつくはず。 三角形は二辺の長さの和より、残り一辺が短い必要ありとか。 ほかの、四面体を一意に限定する方法として、 直交座標のxyz方向で、 底面三角形の底辺x方向と高さy方向と垂線の底辺内の位置x方向、 四面体の底面三角形からの高さz方向と垂線の底面内の位置x方向y方向、 の六変数で、表面積と体積を文字式で表して、 体積÷表面積 を最大にする条件を探せば良さそう。 辺が全部一緒で、面が正三角形だと確認できれば証明したことになると思います。 考え方までは考えました。 実際にやると解けないかも。 そういうときは、 表面積当りの体積最大は球だという話を知っているから、球に近いように対称形を探すと正四面体だから、 きっと正四面体が体積最大でしょう、自明って書いて、設問者の意図に反したとしてバッテンを貰って、答えを見せてもらいましょう。 上記の提案をしてみました。
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