二次関数の応用問題です。

質問

１本の針金がある。これを２つに分けて２つの円周をつくる。
この２つの円の面積の和が最小となるのは、針金をどのように分けたときか。
と問題があります。

考えてみたのですが、１本の針金全体の長さをＬとし１つの円の円周をｘとすると
ｘ：１つの円の円周、Ｌ-ｘ：もう１つの円の円周となるのですがここから進めません

解き方をご教示お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>１本の針金全体の長さをＬとし１つの円の円周をｘとすると
>ｘ：１つの円の円周、Ｌ-ｘ：もう１つの円の円周となるのですがここから進めません

このように置くより
１本の針金全体の長さをＬとし１つの円の円周をｘ,もう１つの円の円周をｙとすると
　0<x<L, 0<y<L, x+y=L(>0) …（☆)
それぞれの円の半径は
　r1=x/(2π), r2=y/(2π)
2つの円の面積の和Sは
　S=2πr1^2 +2πr2^2=(x^2 +y^2)/(2π)
　 ={(x+y)^2-2xy}/(2π)
(☆)より
　S=(L^2 -2xy)/(2π) … (★)
ここで
　相加平均・相乗平均の関係より
　√xy≦(x+y)/2=L/2 （等号はx=y=L/2の時成立）
　xy≦(L/2)^2　
　-2xy≧-(L^2)/2 （等号はx=y=L/2の時成立）…(◆)

(◆)を（★)に適用すれば最小値とその時の(x,y)=(L/2,L/2)が得られます。
あとは分かりますね。

お礼

すいません。
せっかく回答していただいたのに補足する事があります。
補足して再度質問します。

回答No.2

noname#224896

相加平均及び相乗平均の関係を使うエレガントな解法は素晴らしいです。
しかし，学習要領では，相加平均及び相乗平均の関係は恐らく高校１年生に入ってからだと思います。
折角，回答してくださっていらっしゃるのですから，
『何時に学ぶから，習ってない解法は感知しない』という姿勢は余り感心は致しません。
勿論，数学に限らず，向学心あふれる場であって欲しいものです。

全く同じ結果になりますが，
質問内容をよく見ると二次関数の応用問題ということで，
やはり，ステップ・バイ・ステップということ，
更に，中学の範囲内と思いますので，本当に差し出がましくてすみません。
別解として，二次関数による解法を以下，記載致します。
（敢えて，馴染み易いと思い，最後でy = [xの二次式]と置き換えました。）

質問者の方の続きから参ります。

>ｘ：１つの円の円周、Ｌ-ｘ：もう１つの円の円周

上記の文字を利用し，
片方の針金の線分の長さxによる円の半径をr，円の面積をs，
もう片方の針金の線分の長さL-xによる円の半径をR，円の面積をS，
と置くと，

x = 2πr , L-x = 2πR となるので，

r = x /(2π) ， R = (L-x)/(2π)と式を変形し，

s = πr^2 , S = πR^2

それぞれを上記の数式に代入すと，

s = π{x/(2π)}^2 , S = π{(L-x)/(2π)}^2

となる．

それぞれ，式変形すると，

s = (x^2)/(4π) , S = {(L-x)^2}/(4π) = (L^2 -2x + x^2)/(4π)

題意から，２つの円の面積の和(s+S)が最小になるxを求める．

s + S = (x^2 + L^2 -2Lx + x^2)/(4π)
= (2x^2 -2Lx +L^2)/(4π)
= {2(x^2 -Lx) + L^2}/(4π)
= {2(x - L/2)^2 + L^2}/(4π)

２つの円の面積の和(s+S)をyと置くと，y = s + S より，

y = {2(x - L/2)^2 + L^2}/(4π)

即ち，yは，x = L/2 の時，最小値(L^2)/(4π)をとる．

ゆえに，題意を満たす条件は，針金を１：１の比で分けた時である．

お礼

すいません。
せっかく回答していただいたのに補足する事があります。
補足して再度質問します。