高校レベルの問題かもしれませんが？

質問

何方か、助けてください。
f(t)=sin θ-sin(θ-2π/3)を整理すると、sin(θ+2π/6)となると本に載ってました。
何方か、導き出せる人いますか？
導き出しの過程を詳細に教えてください。
宜しくお願いします。
答えは、sin(φ-2π/6)かもしれません？

回答No.4

Eiji57 · ベストアンサー

加法定理と波の合成の公式（？）を使って解いてみます。
【波の合成式】
このとき、底辺a，垂辺b，斜辺rの直角三角形を考える。
aとrにはさまれた角がα。aとbは垂直。
　r^2=a^2+b^2
　asinθ+bcosθ≡rsin(θ+α)
　　　　　　　 =r(sinθcosα+cosθsinα)・・・(1)
　tanα=b/a　（ただし0≦α≦π/2)

f(θ)=sinθ-sin(θ-2π/3)
　　 =sinθ-{sinθcos(-2π/3)+cosθsin(-2π/3)}
　　 =3/2sinθ+√3/2cosθ
　　 =√12/4{3/√12*sinθ+√3/√12*cosθ}
　　 =√3(√3/2*sinθ+1/2*cosθ)・・・(2)
ここで、(1)(2)を比較して
　r=√3,cosα=√3/2,sinα=1/2
　∴α=π/6

f(θ)=√3*sin(θ+π/6)

回答No.6

waseda2003

＃２の waseda2003 です。他の方の御指摘にもあるとおり， - と + とを書き違えてしまいました。すみません。
既に訂正されている通り，

sin θ-sin(θ-2π/3) = sin(α+β) - sin(α-β)
= (sinα cosβ + cosα sinβ) - (sinα cosβ - cosα sinβ)
= 2 cosα sinβ
= 2 cos(θ - π/3) sin(π/3)
= √3 cos(θ - π/3)

ですね。

θ- (θ-2π/3) = 2π/3（定数）に注目して「和積の公式」を用いるのが最も速く処理できます。上の回答はその途中も書いたものです。
なお，合成の仕方や公式を追加することで，表示をいくらでも変えることができますので，必要に応じて式変形して下さい。

質問箇所が全体の流れの一部だとすれば，もう少し前の方からミスプリがないか確認された方が良いと思います。

回答No.5

KENZOU

＃2のKENZOUです。少し追加しておきます。
三角関数の加法定理
　±cosA＝sin(A±π/2)　(1)
を使うと#2で得られた式は
f(θ)＝sinθ－sin(θ-2π/3)
　　＝√3cos(θ－π/3)
　　＝√3sin{(θ－π/3)＋π/2}
　　＝√3sin(θ＋π/6)　(2)
となってEiji57さんの答えと一致します。
本の答えは間違っていますね。

お礼

KENZOUさん、Eiji57さん、waseda2003さん、kony0さん早速のご返事ありがとうございます。
実は、計算結果は、幾何学的(ベクトル図)では、把握してました。でも、計算の過程が自己の能力では、限界を超えていて、皆さんのお力をお借りしました。しかも、結果を数式に直す時にまた、間違えていました。お手数をおかけしました。
この、コーナーは、一度書き込むと訂正が出来ないようで？それよりも、自分で気づいたときには、皆さんから回答の間違いを含めて、ご指導を頂いた後で！！
今後も、自己研鑽を続け、一日も早く、皆さんのように、指導する立場になりたいと思います。
今度とも、宜しくお願いします。
本当に、ありがとうございました。
追伸。持ち点が20、10しかないので、皆さんに点数を配分することが出来ないことをお詫びします。

回答No.3

KENZOU

waseda2003さんの計算で

＞sin θ-sin(θ-2π/3) = sin(α+β) + sin(α-β)

ここは
　sinθ－sin(θ－2π/3)＝sin(α＋β)－sin(α－β)
　＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)－(sinαcosβ－cosαsinβ)
　＝2cosαsinβ
　＝2cos(θ－π/3)sin(π/3)
　＝√3cos(θ－π/3)
従って
　f(t)＝sinθ－sin(θ-2π/3)
　　　＝√3cos(θ－π/3)
となると思いますが。

回答No.2

waseda2003

θ と θ-2π/3 の平均が θ-π/3 であることを考えて
α = θ - π/3，β = π/3
とおくと，
θ = α+β，θ - 2π/3 = α-β
ですから，加法定理を用いて
sin θ-sin(θ-2π/3) = sin(α+β) + sin(α-β)
= (sinα cosβ + cosα sinβ) + (sinα cosβ - cosα sinβ)
= 2 sinα cosβ
= 2 sin(θ - π/3) cos(π/3)
= sin(θ - π/3)

回答No.1

kony0

加法定理は習っていますか？また、sinとcosの加法定理はとりあえず暗記してください。
こればかりは、証明方法はあとづけでもいいので、覚えてください。（公式覚えるのが嫌いな私も、２次方程式の解の公式と加法定理だけは、まず覚えることからはじまると思っています）

あとは、
・tanの加法定理
・sin,cos,tanの倍角公式（３倍角も）
・sin,cosの半角公式
・sin,cosの和、差
などなど、加法定理のあとに出てくる一連の公式は、すべて加法定理から導けるようにしてください。