数学の質問です

質問

（問題）
　　x-y<0 , x+y<2 , ax+by<1
の表す領域が三角形の内部にあるようなa,bの条件を求めよ。

x-y<0 , x+y<2の負領域は特定の点を代入して図示できたのですが、わからないのはax+by<1
についてです。
表す領域が三角形の内部にあるためには添付ファイルの(1)、(2)のパターンがあると思いますが、
a,bについて何の条件も与えられていないので決められない…

x-y<0 , x+y<2の交点（1,1）が(1)なら、ax+by-1=0　の上側だから正領域に含まれ、
(2)なら逆に下側だから負領域に含まれている・・・・だからax+by<1
がそもそもax+by-1=0の負領域の部分を表しているから今回は(2)の形？

などいろいろと考えたんですが、自分でも結局何をしたいのかわからなくなりました。。

解答に、まず、
　　ax+by-1=0　∦　x-y=0
ax+by-1=0 ∦　ｘ+ｙ＝２
　　点（1,1）がax＋by<1　を満たす…(3)

以上のことが必要で・・・・とあったんですが(3)は何を意味しているんですか？

点（1,1）がax＋by-1=0 の負領域に含まれるってこと？
いろいろ調べたら、負領域は直線の下側とは限らないみたいで、そうすると(2)の上側が負領域？？？
なんてこともあり得る？？？
実は表している直線が(1)だった？？

もう　ほんとにわからずパニックです！

全然わからないので教えてください。

回答No.7

hrsmmhr · ベストアンサー

三連答して申し訳ないです

a=1/3,b=1/5のとき
(2,0)がax+by<1であることに何の問題もないです
式の両辺に15かければ5x+3y<15なんです
x~yとの交点を考えれば(15/8,15/8)なので(1,1)はそれより原点よりです

大きいところとぼかして書かれてますが、
それが(1,1)側であることと同じであるかどうかは確認しないと

お礼

お礼が遅くなりすみません。
沢山の回答ありがとうございました。

回答No.6

hrsmmhr

もうちょっと補足します

a+b<1という条件はx+y=2とx-y=0の2直線とax+by=1が三角形をなして、、
ax+by<1の側にx+y=2とx-y=0の交点があるというだけで
x+y<2とx-y<0の二つの不等式はまったく使っていませんから、
その不等式は別途検討する必要があります

それが十分でないということです

お礼

お礼が遅くなりすみません。
沢山の回答ありがとうございました。

回答No.5

hrsmmhr

ax+by<1であることの必要条件がa*1+b*1<1であるだけであって、十分ではないのです。
従って、a>0,b>0等の場合は解ではないと言うだけだと思います

問題の答えを最後までご確認ください

お礼

お礼が遅くなりすみません。
沢山の回答ありがとうございました。

回答No.4

FT56F001

>２直線の交点（1,1）が、ax+by<1を満たさないといけない

質問者さんの図で緑色の(1)の直線がax+by=1だとします。
直線上ではax+by=1であり，
直線の一方の側でax+by>1，逆の側でax+by<1となります。

では，ax+by<1となる領域が直線のどちら側なのか，場合分けしてみます。
a>0かつb>0の場合，直線より右側の点，すなわちx座標が大きい点(x0,y0)を入れると
ax0+by0>1になってしまいます。
a<0かつb<0の場合，直線より右側の点，すなわちx座標が大きい点(x0,y0)を入れると
ax0+bY0<1になります。

質問者さんの図で緑色の(2)の直線がax+by=1だとします。
a>0かつb<0の場合，直線より右側の点を入れるとax0+by0>1になってしまいます。
a<0かつb>0の場合，直線より右側の点を入れるとax0+by0<1になります。

これらをまとめて，
(1)あるいは(2)の直線の右側の領域をax+by<1で表すため，
その右側にある点の座標を代入して
ax+by<1であることを確認します。
代入する点は，(1)あるいは(2)の右側にあって欲しい点という意味です。

今回の問題では三角形で囲まれることが条件ですから，
「二直線の交点(1,1)が，直線(1)あるいは(2)の右側にある」
ことを確認する必要があります。そこで(1,1)を代入しています。

お礼

お礼が遅くなりすみません。
回答ありがとうございました。

補足

**
a>0かつb>0の場合，直線より右側の点，すなわちx座標が大きい点(x0,y0)を入れると
ax0+by0>1になってしまいます。

についてなんですが、a>0かつb>0で具体的な数値を入れて考えて、
たとえばa=1/3, b=1/5　とすれば点(x0,y0)＝（２、０）のときは
ax0+by0＜1ではないのでしょうか？

**
a>0かつb<0の場合，直線より右側の点を入れるとax0+by0>1になってしまいます。

についてなのですが、上と同様に考えるとまた反例が出ると思うのですが、
私の考えは違いますでしょうか？

**
(1)あるいは(2)の直線の右側の領域をax+by<1で表すためで表すため…

についてなんですがax+by<1が直線の左側を表していることはないのですか？

正領域は任意の一点を代入して、F（x,y）>0となればよく、負領域はこの逆、
という程度の知識でこの問題にあたっているのですが、
ほかに前提条件として知らなくてはならない知識があれば教えてください。。

回答者様からせっかく回答いただいているのですが、まだもやもやしていて、すっきり解決できていません。。

回答No.3

hrsmmhr

三角形をなすときそれが構成する辺の対角は、ax+by<1を満たす側に来るべきではありませんか？
そうならない反例がありますか？

お礼

お礼が遅くなりすみません。
沢山の回答ありがとうございました。

補足

ax+by<1を満たす側がax+by＝1を境界として、右なのか左なのかわからないのです。

回答No.2

gohtraw

問題の条件を満たすためには、
（１）直線ａｘ＋ｂｙ＝１がｘ－ｙ＜０かつｘ＋ｙ＜２の領域を通ること
（２）直線ａｘ＋ｂｙ＝１が直線ｘ－ｙ＝０、およびｘ＋ｙ＝２と三角形を作ること
が必要です。
（１）については直線ａｘ＋ｂｙ＝１の傾きで場合分けして他の二つの直線の交点とどういう位置関係にあればいいのか考えればいいと思います。
（２）については三角形ができないといけないので、三つの直線が一点で交わらないこと、および三つの直線のうちどの二つを取っても平行ではないことが必要です。

お礼

お礼が遅くなりすみません。
回答ありがとうございました。

補足

（１）は直感的に納得いくのですが、それでいいでしょうか？

（１）のもとで・・・場合分けして考えました。
１）傾きが正でy軸との交点が正の時、
　　　ａｘ＋ｂｙ＝１よりも上側が正領域、下側が負領域
２）傾きが正でy軸との交点が負の時
　　　ａｘ＋ｂｙ＝１よりも上側が負領域、下側が正領域
３）傾きが負でy軸との交点が負の時
　　　ａｘ＋ｂｙ＝１よりも上側が負領域、下側が正領域
４）傾きが負でy軸との交点が正の時
　　　ａｘ＋ｂｙ＝１よりも上側が正領域、下側が負領域

ａｘ＋ｂｙ-１<0はａｘ＋ｂｙ＝１の負領域を示していて、１）または３）が条件を満たす。２）、４）は三角形を作らない。

ここまで考えました。ただ、どうして、、
”２直線の交点（1,1）が、ax+by<1を満たさないといけない”
のかがよくわからないのですけど……

友人いわく、これは（1,1）が負領域にある！ということを示しているらしいのですが…

回答No.1

hrsmmhr

２直線の交点が、ax+by<1を満たさないと三角形になりません。

お礼

お礼が遅くなりすみません。
沢山の回答ありがとうございました。

補足

”２直線の交点が、ax+by<1を満たさないと三角形になりません。”

それがどうしてなのかがわからないのですが・・・