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解説お願いします。(高2レベル)
春休みの宿題の中でどうしてもわからない部分があったので質問させてください。 (1)(a-2)x+by=2, (3-b)x+2ay=1 この二つの直線がともに直線x+y=0に垂直となるようにa,bの値を求める。 --この問題の答えはa=1/3 b=7/3らしいのですがやり方がわかりません。 (2)次の不等式を同時に満たす点(x,y)が存在する領域を図示し、その面積を求めよ --面積は(π-2)÷4らしいのですが出し方がわかりません。図示の仕方もわかりません (3)y=ax+bと P(1,-1) Q(2,1)がある 1、点Pが直線の上側にあるためのa,bの関係式を求め点(a,b)が存在する領域を示す。 --この問題の関係式がa+b<-1というのはわかりましたが領域をどう示したらいいのかわかりません。 2、P,Qが直線の反対側にあるときのa,bの関係式を求め点(a,b)が存在する領域を示す。 --関係式の出し方と領域をどう示したらいいのかわかりません。 今あげた問題で一つでもわかったかたはご回答心よりお待ちしております。 あくまでも答えを教えろ!ではなく『解説』ですのでどうかよろしくお願いします。
- kenta0102
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質問者が選んだベストアンサー
#11さんの方法とは少し違いますが、参考までに書きます。 上からP、直線、Qの場合、 P(1,-1)で y=ax+bはこの点より下にあるから、 (つまりxに1を入れると、-1より小さい値のyが出てくるようにする) -1>a+b かつ、Q(2,1)で y=ax+bはこの点より上にあるから、 (つまりxに2を入れると、1より大きい値のyが出てくるようにする) 1<2a+b 関係式が出てきます。 それぞれの不等式を変形して図示し、重なった部分が求める領域です。 同様に、Q、直線、Pの場合も求められます。
その他の回答 (12)
- eatern27
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(3)-1 は分かったのですよね? (3)-2 >P,Qが直線の反対側にあるときの これがどういう場合かというと、 Pが直線の上側にある、かつ、Qが直線の下側にある場合、 または、 Pが直線の下側にある、かつ、Qが直線の上側にある場合。 の2つの場合が考えられます。 Pが直線の上側にある時のa,bの関係式は(3)-1からa+b<-1 Qが直線の下側にある時のa,bの関係式は(3)-1と同様にやれば、2a+b>1 Pが直線の下側にある時のa,bの関係式はa+b>-1 Qが直線の上側にある時のa,bの関係式は2a+b<1 あとはこれらを図示するだけです。
- hinebot
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(3)の問題について 1の問題 点Pが直線y=ax+bの上側にある ⇒x座標が点Pと同じである直線y=ax+b上の点(Rとします)のy座標が点Pのy座標より小さい ですね。よってRのy座標は y=a・1+b = a+b なので関係式は a+b<-1 です。 2の問題 これも考え方は同じです。ただし、上側から順に並べたとき、P・直線・Qとなる場合と、Q・直線・Pとなる場合を考えないといけません。 実際に点Pと点Qを座標平面にとって、その間に直線を引いてイメージしてみるのもいいですよ。 x座標が点Pと同じである直線y=ax+b上の点をR x座標が点Qと同じである直線y=ax+b上の点をS とします。 Rの座標は(1,a+b)、Sの座標は(2,2a+b)ですね。 (1)P・直線・Qとなる場合 a+b < -1 かつ 2a+b > 1 (2)Q・直線・Pとなる場合 a+b > -1 かつ 2a+b < 1 です。 あとは、図示するだけです。 a,bを座標軸として a+b=-1, 2a+b=1 の2つの直線を描きましょう。 すると、座標平面がこの直線によって、4つの部分に区切られますので 上で求めた条件がどこを示すか考えてください。
- komomomo
- ベストアンサー率22% (25/113)
(3)の2ですが、 これもまた(3)1のように変形しましょう~v P、Q、それぞれの為の不等式が出てくるので、それを解いて、図の重なった部分が存在する領域です。 どんどん回答が入るので面白いと思いました(^▽^)! では!
- nickdayo
- ベストアンサー率26% (42/156)
面積も必要だったのですね^^; まず図を描いてみてください。 図を描くと実は円と直線が綺麗な位置関係で交わっていることが分かり易くなります。 円と直線は(-1/2, -1/2), (1/2, 1/2)の2点で交わっています。 まず、中心(1/2, -1/2), 弧(-1/2, -1/2)(1/2, 1/2)で囲まれる領域の面積を求めます。 これは簡単です。半径1の円の面積の4分の1です。 上で求めた面積から、(-1/2, -1/2), (1/2, 1/2), (1/2, -1/2)でかこまれる直角二等辺三角形の面積を引けばよいです。 座標を使って説明しなくても、正確な図を描いて説明すれば十分だと思います。
- eliteyoshi
- ベストアンサー率42% (76/178)
(2)の解答 まず不等式を変形します。 y-x≧0 ↓ y≧x …A 2(x^2+y^2)≦2x-2y+1 ↓ x^2+y^2≦x-y+1/2 ↓ x^2-x+y^2+y≦1/2 ↓ (x-1/2)^2+(y+1/2)^2≦1 …B ここで、Aの領域は、y=xの上部分 Bの領域は、(1/2,-1/2)を中心とする半径1の円の内側 図示すると、 A,Bを同時に満たす領域は、点(1/2,1/2),(-1/2,-1/2)と円で囲まれた部分であることが分かります。 よって、1/4円から直角三角形を引いたのが領域の面積となる。 π×1^2-(1^2)/2 =π/4-1/2 =(π-2)/4
- nickdayo
- ベストアンサー率26% (42/156)
何度も失礼します。(2)です。 y-x≧0, 2(x^2+y^2)≦2x-2y+1 第1式を変形すると、y≧xです。 これは直線y=xの上側の領域ですね。 次に第2式を変形します。 2(x^2+y^2)≦2x-2y+1 x^2+y^2≦x-y+1/2 (両辺を2で割る) (x^2 - x) + (y^2 + y) ≦ 1/2 (右辺のxと-yを移項) {(x - 1/2)^2 - 1/4} + {(y + 1/2)^2 - 1/4} ≦ 1/2 (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 ≦ 1/2 + 1/2 (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 ≦ 1 となりました(計算間違ってたらごめんなさい) これは中心が(1/2, -1/2)で、半径が1の円の内側の領域ですね。 上の2つの領域の重なったところが求める領域です。 走り書きしてみただけなので、計算等は必ず見直してくださいね^^
補足
面積の出し方も教えてくださ~~~~~~い! 何度もおねがいしてごめんなさい。。。 ホント馬鹿でごめんなさい。。。
- komomomo
- ベストアンサー率22% (25/113)
#5の方フォローありがとうございます(*^○^*)!! (3)ですが、 a+b<-1 b<-a-1 と変形して、 y<-x-1の式を見ているのと同じような気持ちでグラフを書きましょう~☆
補足
y<-x-1の式とおなじようにグラフを書くなんて思いつきもしませんでした。どうもありがとうございます! (3)のもうひとつの問題もよかったら教えてください!よろしくお願いします!
- nickdayo
- ベストアンサー率26% (42/156)
他の方の回答に補足です。 (1)ですが、aもbも0にならないことを確認してから2つの直線の傾きを求めるのが良いです。
- komomomo
- ベストアンサー率22% (25/113)
お急ぎということで(1)だけやってみます。 x+y=0 に垂直ということは y=-x より傾きが1の直線を求めると良い。 というわけで、 (a-2)x+by=2は y=-(a-2)/b+2/bというふうに変えて、 (3-b)x+2ay=1は y=-(3-b)/2a+1/2aというふうに変えて、 それぞれの傾き=1で計算すると答えが出ると思います☆
- acacia7
- ベストアンサー率26% (381/1447)
(2)に不等式がないですよぉ。 (3)についてですが、 図示すると以下の様です。 ____┃____「・」の領域で切片はそれぞれ「ー1」です。 \___┃____ ・\__┃____ ・・\_┃____ ━━━\╋━━━━ ・・・・\____ ・・・・┃\___ ・・・・┃・\__ ・・・・┃・・\_ P、Qの境界線がそれぞれ1本あるので、 それが分割する4つの領域があり、 それらは交互に「条件をみたす領域」「条件をみたさない領域」になります。
補足
ごめんなさい!!焦って書き忘れました(^^;) y-x≧0, 2(x^2+y^2)≦2x-2y+1 です。よろしくおねがいします!
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