軌跡と領域の問題でわからないことがあります。

質問

２点A（0,1）B(1,1)を結ぶ線分ABが円ｘ＾２+ｙ＾２-２ax-2by-1=0
の外部にあるときa、bの条件を現す領域を図示せよ

という問題ですが、
下の図のような解法を使ってとくことってできないのでしょうか？
まだこの使い方をマスターできてないのでよくわかりませんが、どうしたらいいのでしょうか？

回答No.4

aquatarku5 · ベストアンサー

線分AB上の点の座標は、(s,1)（0<=s<=1）と表せる。

すべてのsに対して，点(s,1)が円の外にあるということ。

円の方程式；(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2+1　なので、

(s-a)^2+(1-b)^2>a^2+b^2+1
即ち，　s^2-2sa-2b=(s-a)^2-(a^2+2b)>0

これはsの二次関数（下に凸）であり、グラフのイメージを書いてみれば、
頂点(a,-(a^2+2b))と(s,1)の位置関係から、以下の3つに分類される。

(1)a<0(sの最小値)　の場合
(2)a>1(sの最大値)　の場合
(3)0<=a<=1　の場合

これらを合成して答えを得ることができると思います。

提案される解法については、A(s=0)、B(s=1)がともに外側でも，
その間の点が円の内部に入ってしまう可能性があることから，
そのようなケースを除きながら解き進めることが必要と思います。

回答No.3

gohtraw

＃１です。訂正。
誤：ｘ＜０、０＜＝ｘ＜＝１、１＜ｘ
正：ａ＜０、０＜＝ａ＜＝１、１＜ａ
ですね。

回答No.2

bibendumbibendum

絵を描いてみることからはじめます。
円は（a,b)を中心とし半径√（a^２＋b^2+1）になります。
線分ABはx軸に平行になります。

線分が円の外の条件は、線分の中の円にもっとも近い点と円の中心の距離が
円の半径より大きい、になります。

場合分けをします。
a<0
この場合は、点Aが円に近い点になります。
０≦a≦１の場合は円の中心から線分におろした垂線の長さになります。
a>1の場合は、点Bが円に近い点になります。

０≦a≦１の場合だけ計算してみます。
(1-b)^2＞a^2＋b^2＋１

全部計算をしていませんが、この方法でいけるはずです。

回答No.1

gohtraw

直線と線分の場合、線分の両端の点がいずれも直線よりも上（あるいは下）にあれば両者は交わらないといえます。一方円と線分の場合、Ａ、Ｂの両方が円の外側にあったとしてもＡＢ上の点がそうなるとは限らないので難しいのではないでしょうか。
　この問題の場合、ｘ＜０、０＜＝ｘ＜＝１、１＜ｘに場合分けしてａ，ｂの満たす条件を求めていく方がシンプルだと思います。