電荷の証明問題

質問

一様に帯電した球殻が、その外部にある荷電粒子に及ぼす反発力あるいは引力は、球殻上のすべての電荷が球殻の中心に集まった時の力に等しい。

これの証明できるかたいますか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

ガウスの法則を使わないで証明しようということと理解しました。考え方自体は単純です。
クーロンの法則を使って直接、静電気力を求めれば良いのです。

方針：球殻上の微小部分Ａから受ける力dfをクーロンの法則から求め、この力を面全体にわたって積分する。

Ａの面積dSは
dS=(R・dθ)・(R・sinθ・dδ)
＝R^2・sinθ・dθ・dδ
これが持つ電荷dqは、電荷密度をσとすると
dq=σ・dS=σ・R^2・sinθ・dθ・dδ

距離AP＝√{(AT^2)+(PT^2)}
=√{(R・sinθ)^2＋(L-R・cosθ)^2}
cosφ=PT/AP
=(L-R・cosθ)/√{(AT^2)+(PT^2)}

P点にある電荷Ｑが、Ａから受ける静電気力dfは
df=k・Q・dq/(AP^2)
（kは、クーロンの法則の定数）

dfを面全体にわたって積分すると、対称性から、dfのz方向成分だけが残るはず。
df_z=df・cosφ

以上から
df_z=k・Q・dq/(AP^2)・cosφ
=k・Q・(σ・R^2・sinθ・dθ・dδ)/((AT^2)+(PT^2))・(L-R・cosθ)/√{(AT^2)+(PT^2)}
これを、δ：0～2π、θ：0～πに渡って積分すれば良いわけです。

k・Q・σ・R^2・2π・(L-R・cosθ)・sinθ/({(R・sinθ)^2＋(L-R・cosθ)^2}^(3/2))

球殻全体の電荷Q'=4πR^2・σなので

F_z=(kQ・Q'/2)・(L-R・cosθ)・sinθ/({(R・sinθ)^2＋(L-R・cosθ)^2}^(3/2))

また
(R・sinθ)^2＋(L-R・cosθ)^2
=R^2＋L^2－2RL・cosθ

∴球殻全体にわたって積分すると
F=(kQ・Q'/2)・∫(L-R・cosθ)・sinθ・dθ/({R^2＋L^2－2RL・cosθ}^(3/2))
[θ：0～π]

R^2＋L^2－2RL・cosθ=t　と置いて積分すると良いでしょう。

2RL・sinθ・dθ＝dt

t=R^2－L^2＋2(L^2-RL・cosθ)
=R^2－L^2＋2L(L-R・cosθ)
より
(L-R・cosθ)=(t-R^2＋L^2)/2L

積分範囲は　t:[(R-L)^2～(R+L)^2]

ここまで変形してくると、単純な積分になりますから、あとは、積分を実行して見れば良いでしょう。
見事にRが消えてしまい、分母にL^2が残ることがわかると思います。

お礼

ありがとうございます。
無事に解決することができました。