数学の問題について

質問

Ｘ^P＋Ｙ^P＝P^z

(ただしPは素数、ＸＹＺは自然数)

この問題の解き方を教えて頂きたいですm(_ _)m

回答No.9

hrsmmhr

ちょっと修正を…

Pが奇素数でX>=YがPの倍数でないとする
X^P+Y^P=(X+Y)(X^(P-1)-X^(P-2)Y....+Y^(P-1))
なのでX+YがPの倍数ですが
一方でX+Y=P^kのとき
X^P+(P^k-X)^P=(P^k)^P-PC1(P^k)^(P-2)X+....-PC(P-1)P^kX^(P-1)
よりX^P＋Y^P<=P^(k+1)（上式の最後の項以外はP^(2k+1)で割り切れるが、最後の項はP^(k+1)でしか割れないため）
よってX+Y=P^kだったからX^(P-1)-X^(P-2)Y+...+Y^(P-1)=1,P…(1)ですがこれは
=(X-Y)(X^(P-2)+X^(P-4)Y^2+...+XY^(P-3))+Y^(P-1)と変形でき
(1)がPのとき
X>=YならYはY^(P-1)<=P
Y!=1ならばf(Y,P)=Y^(P-1)-PはY,Pで単調増加だがY=2,P=3でも4-3>0、
よってY=1だがP>=5では
(X^(P-1)-X^(P-2)+X^(P-3)-....+1)=P
(X-1)(X^(P-2)+X^(P-4)+....+X)=P-1
F(X,P)=X^(P-2)+X^(P-4)+....+XはX>=2ならF(X,P)>=2^(P-2)>P-1で
X,Pで単調増加であるから0にはならない

P=3、Y=1は
X^2-X+1=3よりX=2,-1これは(3^n)^3+(2*3^n)^3=3^(3n+2)

回答No.8

hrsmmhr

Pが奇素数でX>=YがPの倍数でないとする
X^P+Y^P=(X+Y)(X^(P-1)-X^(P-2)Y....+Y^(P-1))
なのでX+YがPの倍数ですが
一方でX+Y=P^kのとき
X^P+(P^k-X)^P=(P^k)^P-PC1(P^k)^(P-2)X+....-PC(P-1)P^kX^(P-1)
よりX^P＋Y^P<=P^(k+1)（上式の最後の項以外はP^(2k+1)で割り切れるが、最後の項はP^(k+1)でしか割れないため）
よってX+Y=P^kだったからX^(P-1)-X^(P-2)Y+...+Y^(P-1)=1,P…(1)ですがこれは
=(X-Y)(X^(P-2)+X^(P-4)Y^2+...+XY^(P-3))+Y^(P-1)と変形でき
(1)がPのとき
X>=YならYはY^(P-1)<=P
f(Y,P)=Y^(P-1)-PはY,Pで単調増加だがY=2,P=3でも4-3>0したがって
P<=3,Y=1もしくはP=2,Y=1
P=3、Y=1は
X^2-X+1=3よりX=2,-1これは(3^n)^3+(2*3^n)^3=3^(3n+2)
P=2の場合は(2^n)^2+(2^n)^2=2^(2n+1)
(1)は1やはり
=(X-Y)(X^(P-2)+X^(P-4)Y^2+...+XY^(P-3))+Y^(P-1)からX=Y=1でなければならない
→(2^n)^2+(2^n)^2=2^(2n+1)

回答No.7

rnakamra

そうか。

あるPについて(X,Y,z=)(a,b,c)で成り立つとすると(X,Y,z)=(a*P^n,b+P^n,c+nP)でも成り立つんだ。気づかなかった。

(a*P^n)^P+(b*P^n)^P=a^P*P^(Pn)+b^P*P^(Pn)=(a^P+b^P)*P^(Pn)=P^c*P^(Pn)=P^(c+nP)

あとは、
・一つのPについて独立な(a,b,c)の組み合わせの個数が何個あるか。

ということになりますね。P=2の場合は1個しかないことは証明しましたのでP≧3で何個あるのでしょうか。

回答No.6

hrsmmhr

(3^n)^3+(2*3^n)^3=3^(3n+2)とかもあります

お礼

ありがとうございますo(^-^)o

やはり色々なパターンがあるんですね!!

回答No.5

rnakamra

#4のものです。

P=2の場合、#4にあげたもの以外に解が無いことの証明を下に示します。

X~2+Y^2=2^z
X,Yが両方とも奇数または両方ともに偶数であるかのいずれか。

X,Yが両方とも奇数
X=2n+1,Y=2m+1 (n.mは0以上の整数)とおくと
X^2+Y^2=2{2(n^2+m^2+2n+2m)+1}=2^z
{}の中は奇数となるが、右辺の約数に奇数は"1"しかないため、{}=1、つまりn=m=0しかない。
X=Y=1,z=1,P=2のみが題意を満たす

X,Yが両方とも偶数
X=2n.Y=2m(n.mは自然数)とおくと
X^2+Y^2=4n^2+4m^3=4(n^2+m^2)=2^z
z≧3は明らかなのでz=k+2とおくと
n^2+m^2=2^k
つまり、X,Y,z,2が解のとき、X/2,Y/2,Z-2,2も解であることがわかる。
X/2.Y/2がともに奇数であるときは上にあるようにX/2=Y/2=1,k=1しかありえない。
X/2.Y/2がともに偶数であるときは、同様にX/4,Y/4,z-4も解となる。
これを繰り返すとX/2^h,Y/2^h,z-2h,2が解であることが示されるが、あるところでX/2^hは奇数となってしまう。その奇数は"1"でなければならない。
つまり、X=Y=1*2^h=2^h,z=2h+1,P=2が解となる。

P=2の場合、(X,Y,z)=(2^n,2^n.2n+1) (n≧0の整数)

P≧3の場合は証明していない。
P≧3の場合、Pは奇数であるから
X^P+Y^P=(X+P)Σ[k:0～P-1](-1)^k*X^k*Y^(P-k-1)
と因数分解できるので、X+YはX^P+Y^Pの約数である。
X+YがP^zの約数であるので
X+Y=P^n
の形になる。これを利用して何か関係式が導けるかもしれない。

お礼

分かりやすい証明をありがとうございます(^O^)
頑張って考えます!!

回答No.4

rnakamra

#1について
ちょっと違う。X,Yは2nではなくて2^nとすればOK。。

(2^n)^2+(2^n)^2=2^(2n)+2^(2n)=2×2^(2n)=2^(2n+1)

お礼

なるほど!!
気がつきませんでした
ありがとうございます

回答No.3

f272

#1はちょっと考えが足らなすぎ。
2^2+2^2=2^3
4^2+4^2=2^5
までは正しいけど...

回答No.2

info22_

小さい方の組合わせを総当り的にちょっと試行してみたら以下のように出てきました。
(X,Y,Z,P)=(1,1,1,2),(1,2,2,3),(2,1,2,3),(2,2,3,2),…

この調子で試行していくとまだ出てくるかも知れませんね。
総当りだとプログラムを組んで計算機にやってもらうと沢山の組が見つかりそうですね。

お礼

ありがとうございます

頑張ってみます(^O^)

回答No.1

f272

まじめに考えてないけど、与えられた式を睨めば
(2n)^2+(2n)^2=2^(2n+1)
という解が見つかる。他にあるかどうかは知らん。

お礼

ありがとうございますm(_ _)m

参考になります