解法を教えてください

質問

多項式x^3+y^3+z^3-3xyzは、ある多項式P(x,y,z)によりx＾3＋y＾3＋z＾3－3xyz＝(x+y+z)P(x,y,z)と因数分解される。
(1)P(x,y,z)および-1/2{(x-y)^2+(y-z)^2}を求めよ。
(2)自然数x,y,zがx<y<zを満たすならば、P(x,y,z)≧3であることを証明せよ。また、等号が成り立つための条件を求めよ。
(3)条件式x^3+y^3+z^3-3xyz＝91,x<y<zを満たすような自然数x,y,zの組をすべて求めよ。

答えは
(1)x＾2＋y＾2＋z＾2-xy-ys-zx,1/2(z-x)^2
(2)等号が成立するのはy=x+1,z=x+2のとき
(3)x＝3、y＝4、z＝6

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(2014・中央大学・理工学部）

(1)
xの3次式「x^3-(3yz)x+(y^3+z^3)」をxの1次式「x+(y+z)」で割ると（筆算略）
商は「x^2-(y+z)x+(y^2-yz+z^2)」余りは0となる。
よって P(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx …（答）
また、引き算を実行することで P(x,y,z)-(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2} = (1/2)(z-x)^2 …（答） となる。

(2)
（証）
(1)の結果より P = (1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}
ここで、x,y,zがいずれも整数であることから
x<y → x-y ≦ -1 → (x-y)^2 ≧ 1
y<z → y-z ≦ -1 → (y-z)^2 ≧ 1
x<y<z → z-x ≧ 2 → (z-x)^2 ≧ 4
以上3つの不等式を加えて「 (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≧ 6」
両辺を2(>0)で割って「P≧3」がいえる。（証明終）
また、等号が成立するのは「x-y = -1 かつ y-z = -1 かつ z-x = 2」すなわち「y=x+1かつz=x+2」のときである。…（答）

(3)
(x+y+z)P(x,y,z)=91
条件よりx≧1,y≧2,z≧3なのでx+y+zは6以上の整数。
(2)の結果よりPは3以上の整数なので、積が91になる組合せは
(i)「x+y+z=7 かつ P=13」または (ii)「x+y+z=13 かつ P=7」 のいずれかに限られる。
(i)のとき x+y+z=7 かつ x<y<z をみたす自然数は(x,y,z)=(1,2,4)のみであるが、このときPの値は7となり題意をみたさない。
(ii)のとき P=7 より (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=14 → (z-x)^2 ≦ 12 → z-x ≦ 3
x=1とするとzは4以下、yは3以下となり、x+y+z=13をみたす自然数の組は存在しない。
x=2とするとzは5以下、yは4以下となり、x+y+z=13をみたす自然数の組は存在しない。
x=3とするとzは6以下となり、このときx+y+z=13をみたす自然数の組は(x,y,z)=(3,4,6)のみ。この組はP=7となるため題意をみたす。
x≧4とするとy≧5,z≧6となり、x+y+z=13をみたす自然数の組は存在しない。
以上より、題意を満たす自然数の組は (x,y,z) = (3,4,6) のみである。…（答）

お礼

ありがとうございます。助かりました。

回答No.1

stomachman

(1) 前半は多項式の割り算をやるだけ。「答え」は誤り。
後半はソモソモ問題のテイをなしていないので、解法もクソもない。
(2) 前半はいろんなアプローチがある。スマートな式変形を発見できれば良いが、そうも行かない場合、ドン臭いけれど着実なやり方は帰納法を三重に使う事。すなわち、xについての帰納法の中で、yについての帰納法を行い、その中でzについての帰納法を行う。
後半は問題として成立していないが、「P(x,y,z)=3」と答えれば足りる。
(3) 与式が(x+y+z)P(x,y,z)と因数分解できるのだから、右辺の91も素因数分解できる。まずそこから取りかかるべし。