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【解析力学】1次元調和振動子のエネルギー

以下の問題「解析力学」の試験で出ました。解き直しをしているのですが、導出過程と解答が分かりません。 お手数をおかけしますが、教えていただけないでしょうか。お願いします。 ********************************** 母関数 W(q,Q) = aq^2cot(bQ) によって正準変数q,pから新しい正準変数Q,Pに正準変換したとき、新しい正準運動量Pが1次元調和振動子のエネルギー(Hamiltonian) H = p^2/2m + mω^2q^2/2 となるように、パラメーターa,bの値を定めよ。また、正準変数Qの物理的意味を述べよ。

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noname#154783
noname#154783

W(q,Q) = a q^2 cot(b Q) が母関数なので, p = ∂W/∂q = 2a q cot(b Q), …(1) P = -∂W/∂Q = a b q^2 /sin^2(b Q). …(2) (2)より q^2 = {P/(a b)} sin^2(b Q). …(2)' (1)より p^2 = 4a^2 q^2 cot^2(b Q) = (4a/b) P cos^2(b Q) (∵(2)'). …(1)' (1)',(2)'を使ってHをP,Qで表すと, H = {2a/(m b)} P cos^2(b Q) + {m ω^2 /(2a b)} P sin^2(b Q). これがPと一致するのであるから, 2a/(m b) = 1, …(3) m ω^2 /(2a b) = 1. …(4) (3)×(4)より b = ±ω. このとき(3)より a = m b/2 = ±m ω/2. (複号同順) このとき, W(q,Q) = (±m ω/2) q^2 cot(±ω Q) = (m ω/2) q^2 cot(ω Q). (複号同順) なので,複号のどちらを選んでもWの形は変わらない.そこで,一般性を失うことなく a = m ω/2, b = ω としてよい. で,(1)より p = m ω q cot(ω Q) tan(ω Q) = m ω q/p Q = arctan(m ω q/p) /ω. …(5) この力学系の一般解は q = A sin{ω(t - to)}, p = m ω A cos{ω(t - to)} なので(A,toは初期条件によって決まる定数),これらを(5)に代入すると, Q = arctan(tan{ω(t - to)}) /ω = t - to. すなわち,Qは調和振動子の位相が0となる時刻(to)からの経過時間を表す.

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