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調和振動子の最小エネルギーについて
不確定性関係ΔxΔp=h/4πのとき 調和振動子のエネルギーEが E=(Δp^2)/(2m)+(mω^2Δx^2)/2 で定義されているとき、Eの最小値を計算したいのですが ラグランジェの未定数法乗を使わずに 計算しようとして不確定性関係からΔpを消去して E(Δx)=h^2/(32π^2mΔx)+(mω^2Δx^2)/2 に変形しました。 次にdE/dΔx=0 になるΔx が計算できずに困っています。 そして計算で求まった最小エネルギーの物理的意味 も併せてわかる方がいたら教えてください。
- kuritoguri
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- drmuraberg
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Δpを消去した式は正しくは E(Δx)= A/Δx^2 + BΔx^2, ここに A= h^2/(32π^2, B = mω^2/2 です。 dE/dΔx = -2A/Δx^3+2BΔx = 0 これより Δx^2 = √A/B これをE(Δx)の式に代入すると E(Δx)= 2√AB = hω/4π この式の意味するところは、調和振動子の持つ最低エネルギは 不確定性原理の条件下ではhω/4πである（ゼロではない） ということです。 量子力学の調和振動子の計算からはエネルギは E = hω(n + 1/2)/2π で与えられます。ここでn = 0 と置いてＥを求めると、 E = hω/4π となります。 http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/oscillator.html 調和振動子は、量子力学的なゆらぎのために振動を止める事が決してできず、 残ってしまうこの振動は「零点振動」、この時のエネルギは「零点エネルギ」と 呼ばれます。絶対零度でも観測される振動です
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質問者からのお礼
ありがとうございました。m(_ _)m E(Δx)計算が間違っていました ただ漠然と解こうとしていましたが 不確定性原理のために 最小エネルギーが0にならない事を 理解するための問題だったことがわかりました。