線形代数の固有ベクトルの辺の問題です。

質問

行列A=（ 3 　　 -4　　）
　　　　 （-2 　　 1　　）←上下のカッコはつながっています

固有値　５、－１
固有ベクトル

　　　C1(2 -1)←この数字らは本当は縦です

　　　C2(3 4)←これもです

質問
異なる固有値の固有ベクトルが線形独立であることを証明せよ

固有値と固有ベクトルは自分で解けたのですがこの問いが分かりません。どなたか教えて下さい。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

a,b,cをそれぞれベクトルとしたとき
{a,b},{b,c},{c,a}がそれぞれ互いに一次独立であっても
{a,b,c}が互いに一次独立であるとは限らない
例えば{a,b}を互いに一次独立であるとすると
{a,b},{b,a+b},{a+b,a}はそれぞれ互いに一次独立であるが
{a,b,a+b}は互いに一次独立でない

Aを複素数を要素とする正方行列としEをAと同じ次数の単位行列とし
s[1],・・・,s[n]をそれぞれAの互いに異なる固有値とし
v[1],・・・,v[n]をそれぞれ固有値s[1],・・・,s[n]に対するAの固有ベクトルとし
c[1],・・・,c[n]をそれぞれ複素数とする
Σ[k:1,・・・,n]c[k]・v[k]=0として
この式の両辺に左からΠ[k:2,・・・,n](A-s[k]・E)をかけると
c[1]・Π[k:2,・・・,n](s[1]-s[k])・v[1]=0
Π[k:2,・・・,n](s[1]-s[k])≠0かつv[1]≠0だからc[1]=0
同様にしてc[1]=・・・=c[n]=0
よって{v[1],・・・,v[n]}は互いに一次独立である

回答No.1

alice_44

具体的な行列の固有値や固有ベクトルと、質問の証明は関係ないですね。
固有ベクトルを未定係数で線型結合したものに、行列を掛けて御覧なさい。

ベクトル x1, x2 が線型独立とは、スカラー c1, c2 が
(c1)x1 + (c2)x2 = 0 ならば c1 = c2 = 0 であること。

x1, x2 が行列 A の固有ベクトルで、
対応する固有値が k1, k2 (k1≠k2)であれば、

(c1)x1 + (c2)x2 = 0　←[1] の両辺に左から A を掛けて
(c1)(k1)x1 + (c2)(k2)x2 = 0　←[2] となる。
[1] の両辺を k2 倍したものを [2] から引けば、
(c1)(k1 - k2)x1 = 0。
x1 は零ベクトルではなく、k1≠k2 だから、c1 = 0 と判る。

c2 = 0 も、同様に示せる。