線形代数（大至急）

質問

次の行列Aの固有値と固有ベクトルを求めよ

　　0 1 -2　
A＝ 0 0 0
1 1 3　　　　　　　 tA
問(1)：行列Aに対して、行列e を求めよ。ｔはスカラ変数である。
問(2)：対角可能Aに対して、次の格式が成り立つことを証明せよ
(t+s)A tA sA
e =e X e
お願いします

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

先ほどの続きです。
　　　　 　　 ┌ 0 0 0┐
　　P^-1AP = │ 0 1 0│
　　　　 　 　└ 0 0 2┘
となります。Aは対角形になりましたが、一般にはジョルダンの標準形になります。対角形になれば指数関数は
　　P^-1exp(tA)P = exp(tP^-1AP)
　　　 ┌ 0 0 　　 　0┐
　　 = │ 0 expt 　　0│
　　　 └ 0 0 exp(2t)┘
より求められます。問い(2)の公式はAが対角化可能でなくても成り立ちます(AとBが可換のときexpA・expB=exp(A+B))。証明は行列のノルムを考えると実数の場合と同じようにできるはずです。

お礼

ご詳しく説明をいただいてありがとう。
ほんとに助けました。こういう問題をしっかり覚えました。ほんとにありがとうございます

回答No.3

grothendieck

回答を一部訂正させて頂きます。exp(0)=1より
　　　　　 ┌1 0 　 0┐
　P^-1AP =│0 expt 0│
　　　　 　 └0 0 exp(2t)┘

回答No.1

grothendieck

固有値と固有ベクトルに関しては固有方程式
　　│A-λE│= 0
を解いて
　固有値λ=0, 1, 2
それぞれに対応する固有ベクトルは
　┌-5┐　┌ 2┐　┌ 1┐
　│ 2│　│ 0│　│ 0│
　└ 1┘　└-1┘　└-1┘
でいいですね。さて、この問題ではAが正規行列ではありません。このとき固有ベクトルは互いに直交せず，固有ベクトルを並べた行列
　　　　 ┌-5 2 1┐
　　P = │ 2 0 0│
　　　　 └ 1 -1 -1┘
の逆行列はPの転置では与えられません。P^-1を掃き出し法などで求めると，
　　　　 ┌ 0 1/2 0┐
　　P^-1 = │ 1 2 1│
　　　　 └-1 -3/2 -2┘