ケーリー・ハミルトンと固有値について

質問

固有値をC・Hで求められると習ったのですがどうしてなのでしょうか？

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

あなたの固有値と固有ベクトル，
固有方程式の定義はどういうものなのですか？
2行2列の行列の場合，
ケーリー・ハミルトンはきわめて単純な計算のみで証明可能であり
また，固有方程式も同様に単純な計算で求められ，
実際に両者を計算すれば
補足にある疑問は浮かぶべくもないのですが．

お礼

回答ありがとうございます

両者というのがどれのことかよくわからず自分なりに考えて計算したら答えが一致しました。
まだよくわからないので明日先生に聞いてみます。ありがとうございます

回答No.4

alice_44

A No.2 の 2. 3. は、並列ではない。
必ず 2.→3. という順番でなくてはならない。

与えられた n 次行列が満たすモニックな n 次方程式というだけでは、
最小多項式が n 次未満の場合、方程式は一意に決まらない。その意味で、
ケイリー・ハミルトンの定理から固有方程式を定義することはできない。

やはり、固有値が満たす方程式としての固有方程式が先にあって、
もとの行列がそれを満たすことがケーリー・ハミルトンの定理だ という
話の順番にならざるを得ないのだ。

A^2 - A - 6E = O という式が書けるのは、x^2 - x - 6 = 0 という
方程式のほうが先にあるからであり、
わざわざ Av = xv を代入して再度 x^2 - x - 6 = 0 を得るまでもない。

お礼

回答ありがとうございます

行列って難しいですね
そういう学部の大学に行ったらわかるようになりたいです
ありがとうございます

回答No.2

Tacosan

それで確かに求まるんだけど, やってることは実はおかしい.

この辺の本来の話の流れは, まず
1. 行列A に対して「固有方程式」という代数方程式が存在する
ということがあって, その上で
2. 固有方程式の解が固有値
3. A 自身が固有方程式を満たす (ケーリー・ハミルトンの定理)
が並列に存在します.

たとえば, #1 の補足にある A に対して
1. A の固有方程式は x^2-x-6=0
であり, この固有方程式があって
2. その解である x = -2, 3 が固有値
3. ケーリー・ハミルトンの定理から A^2-A-6E = O
ということになります.

たぶん「固有方程式」という表現が何らかの事情で出せないための苦肉の策だとは思うけど, 上の流れを理解してほしい.

お礼

回答ありがとうございます

いろいろ親切にして頂き助かりました
あした先生にきいてみたいと思います
ありがとうございました

補足

なるほど。ありがとうございます。

ではなぜA(a b)
(c d)において

A（ｘ）=α（ｘ）,（ｘ）≠（０）
（ｙ）　　（ｙ） （ｙ）　（０）
（αは固有値、ｘとｙの行列は固有べクトル） だと
固有方程式α^2-(a+d)+(ad-bc)=0　となるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

「固有値をC・Hで求められる」とは, より具体的にはどのような操作なのでしょうか?

補足

たとえばA=（１６）
　　　　　（１０）←２行２列があったら
C・HよりA＾２－A－６E＝０
AとEをｘとおき因数分解すると（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０
よってAの固有値は３、－２になる

これがなぜなのかがわかりません