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数学 不等式の証明(by相加平均相乗平均)
御世話になってます 不等式の証明問題です 「a>0、b>0のとき、(a+b)(1/a+1/b)≧4を証明しろ」次のようにやってみました。アドバイスお願いします。 (1)左辺を展開して a/b+b/a+2≧4 (2)2を引いて a/b+b/a≧2 (3)絶対不等式に当てはめると a/b+b/a≧2 よって(a+b)(1/a+1/b)≧4 等号が成り立つのは、a=bのとき お願い致します
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#2です。 >ある参考書に、「不等式の証明にて、和と積の比較は、相加平均≧相乗平均を使え」とありました。 参考書は、覚えやすいようにポイントをぎゅっと圧縮して表現しますね。 なので実際に何を言っているのかは、問題を解いて抑えておく必要があります。 たとえば、(左辺)- (右辺)を計算していった結果 (左辺)- (右辺)= A- B という形に変形されたとします。 ここで、Aと Bの間に A≧ Bという関係が成り立つとすると、 A- B≧ 0であることが言えますよね。 また、(左辺)- (右辺)= A- B+ 1となったとすれば、 上の関係を当てはめれば、(左辺)- (右辺)≧ 1ということが言えます。 「Aと Bの間に A≧ Bという関係が成り立つ」の部分が、 いまの問題では相加・相乗平均の関係になっています。 不等式の証明は、 「大きいであろう式から小さいであろう式を引いたら、正(or 0以上)になる。」 ということを示していきます。 引く数よりも引かれる数が大きければ、その差は正になりますよね。 式の計算自体は、ある意味機械的に進めていくところがあります。 が、全体を見るときには、「こっちが大きい」とか「こっちの方が小さいと言えれば・・・」などと 考えた方が話の展開(筋道)も立てやすくなると思います。
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- alice_44
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問題の不等式の証明に相加相乗平均の関係を使う場合、 不等式を変形して相加相乗が使える形に変形する作業(A)と、 式中にカタマリを見つけて相加相乗を適用する作業(B)とを 行わなければなりません。 dormitoryさんの解法では、質問文中の(1)~(3)が(A)に、 No.1補足の(1)~(3)が(B)にあたります。 論理的には、まず(B)があって「ゆえに」(A)とできるのですが、 証明をその順番で書くと、(B)の(3)で相加相乗を適用する 部分が唐突で、なぜ a/b と b/a が出てくるのかが解りません。 話の筋が通るようにするには、(A)から(B)の順で書けばよい のですが、そのためには、(A)が単なる必要変形ではなく 必要十分変形であることを強調しておくとよいでしょう。 たとえば、こうです。 「(a+b)(1/a+1/b)≧4 の 左辺を展開して整理すると、 不等式は a/b+b/a≧2 と変形できる。これは同値変形である。 題意を示すには、a/b+b/a≧2 を示せばよいことになるが、 a/b と b/a に相加相乗平均の関係を適用すると、 (a/b+b/a)/2≧√((a/b)(b/a))=1 (等号成立は、a/b=b/a すなわちa=bのとき。)両辺を2倍すれば、示すべき式になる。」 参考書などで「左辺-右辺 を計算する」と書く流儀が多いのは、 式変形が必要変形だとか同値変形だとかの記述を避けるためです。 推論の十分性に関する議論は、生徒が混乱しやすい箇所なので、 それをなるべく伏せて書くように工夫してあるのでしょう。 不等式と違って、等式変形なら同値変形であることは自明で、 黙って No.2 のように書いても、不備と言われる可能性はまず無い。 細かい技巧ですけど。
お礼
何故こういった変形をするか、という理由を一つ一つ断ってから示していゆかなければいけない、という事ですね。 見る人が、納得できるような説明かつ対偶のない論証でなければならない……単に暗記すれば出来るわけでもない証明は中々難しいです。単純な計算と違って、別解もありますし、解も例としてあるだけなので、証明問題は骨が折れます。 いずれにせよ、大変解りやすい説明をありがとうございました
- mister_moonlight
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2つの相加平均・相乗平均の不等式を掛け合わせると言うのは、慣れないとミスをやり易い。 2つの不等式の等号成立条件が一致しないと使えない と言う事を知っていなければならない。 従って、慣れないうちは 質問者が書いているように、 >(1)左辺を展開して a/b+b/a+2≧4 → a/b+b/a≧2を証明すると良い。 ここで 相加平均・相乗平均を使うと一発で解決するだろう。
お礼
定数項の存在が混乱させます。 ただ、実数の不等式については、掛ける又は割る値が負でなければ、不等式の大小関係は変わらないという基本性質があったので、良いのかな、と思いました。慣れもあると思います。とりあえず演習したいと思います。ありがとうございました。
- info22_
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#2さんが言われるとおり証明になりません。 他の回答者が言われるように 大きい方の辺から小さい方の辺を引いたものが≧0 今の場合は (左辺)-(右辺)≧0 を示すやり方が一般的です。 別解として定理や公理などで証明されていることを使って証明する方法もあります。 a>0,b>0なので 相加平均≧相乗平均の関係から a+b≧2√(ab) (等号はa=bの時成立) (1/a)+(1/b)≧2√(1/(ab)) (等号はa=bの時成立) が成立する。 2つの式の両辺とも正なので、左辺同士、右辺同士を掛け合わせて (a+b)((1/a)+(1/b))≧2√(ab)*2√(1/(ab)) (等号はa=bの時成立) =4 (証明終わり) 質問者さんのやり方でやるなら (左辺)-(右辺)=(a+b)((1/a)+(1/b))-4 =(a/b)+(b/a)+2 -4 =(a/b)+(b/a)-2 (a/b)>0,(b/a)>0なので相加平均≧相乗平均の関係から ≧2√{(a/b)(b/a)} -2 =2 - 2 =0 ここで等号は a/b=b/a の時成立。この式から a^2=b^2。a>0,b>0から a=b。 したがって等号はa=bの時成立する。 ∴(左辺)≧ (右辺) (等号はa=bの時成立) のように証明を書けば良いでしょう。
お礼
肝に銘じます。 アドバイスありがとうございました。
- naniwacchi
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またまた、こんばんわ。 (1)からなのですが、与えられた不等式のまま変形をしていますが、 これでは証明になりません。 (左辺)- (右辺)≧ 0となることを示すのが、定番です。 その中で、相加・相乗平均の関係を用いていきます。 この不等式の証明問題は、過去に何度か質問に出ています。 その回答も参考にしてみるといいと思います。
お礼
またまたありがとうございました。 そうですか!探し回ってみます
補足
すみません。補足です。ある参考書に、「不等式の証明にて、和と積の比較は、相加平均≧相乗平均を使え」とありました。(教科書の説明がざっくりすぎていまいち理解出来なかったもので…) 相加平均≧相乗平均を不等式の証明に使える場合、一般に左辺に未定数が含まれる不等式の時は、相加平均≧相乗平均の公式(この言い方でよいのでしょうか…) に置き換えて、後に元の式を代入する、と解釈しているのですが、実際はどうなのでしょうか。 長々と申し訳ありません
- Tacosan
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(3) の「絶対不等式に当てはめると」は意味不明. 少なくとも「どんな絶対不等式を使ったのか」は示さなきゃならないし (実数 a に対して a^2≧0 は「絶対不等式」と言えるけどこれを使ったわけじゃないでしょ?), 「当てはめる」というあいまいな表現をする必要もない.
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 正しく抜け落ちていました。 ここでの絶対不等式は、相加平均≧相乗平均の事です。どんな操作や定理(で良いのでしょうか)を使って証明しなければいけないけですね
補足
(1)左辺を展開 a/b+b/a+2 (2)(1)で両辺を-2 a/b+b/a≧2 (3)相加平均≧相乗平均の大小関係により(文字な置き換えて代入) a/b+b/a≧2√1=2 という流れになってますが、どうでしょうか。
お礼
重ね重ねありがとうございます どうも相加平均と相乗平均を使う場合と、基本的な不等式の証明に対する理解が弱いようです。 精進します