メキシコ数学オリンピック（高校生）

質問

メキシコの数学オリンピックの問題です。
メキシコ人に聞いても全然分からないです。ご教授お願いします。

あるホテルがあるとします。
そのホテルに全ての自然数が泊りにきました。自然数は無限にあるので部屋はいっぱいです。
しかしそこに０がやってきました。困った管理人は考えた末、自然数をn+1と表し0を一番最初の部屋に泊めてあげました。（つまりルームナンバー１の部屋に０、２の部屋に１と行った感じです。）
みんな楽しく泊れましたが今度は整数がきました。
整数の正の数（１から無限大）と０はもう部屋を持っていましたが負の数は困り果てました。
それを見た管理人は次のように並べました。0, -1, 1, -2, 2,..........∞
つまり正の数を2n-1, 負の数を2nにして部屋に泊めてあげました。
さて有理数がきたら管理人はどのように泊めてあげるべきなのでしょうか？

スペイン語を略したのでよく分からないかもしれませんがお願いします。！！

回答No.2

Rice-Etude · ベストアンサー

No.1です。

表記を間違えてました。すみません。「加算無限」は間違いで、「可算無限」です。
「可算無限 有理数」で検索してみてください。

お礼

ありがとうございます。
数学の新しい事を色々学ぶ事ができました。
色々な考え方があるんですね。分子をm, 分母をnにしたとき（n-1)^2+mで表せそうです。

回答No.3

alice_44

有名なのは、分子の絶対値＋分母の絶対値 の和が小さい順に並べる
ってヤツだよね。和が同じになるものの順番は、任意でよい。
こんなの、「濃度」って聞いたことのある人ならば本で読んだことがある話で、
低教育国の脳力だけで勝負している人が自力で発見するには、そこそこ難しい。
数学オリンピックの出題としては、適当なの？

回答No.1

Rice-Etude

これは、簡単に言ってしまえば「無限の集合に違いがあるか？」という話で、自然数の集合、整数の集合、有理数の集合は濃度として同じであるというところにつながってきます。

ご質問の解（すなわち、自然数の集合と有理数の集合は濃度が同じということの証明）としては、要は有理数が自然数に対して1対1対応できることを示せれば良いわけです。「加算無限 有理数」で検索してみるといろんな対応付けの仕方が出てきますので、調べてみると面白いと思いますよ。