数列の数学的帰納法の基本的な問題です。

質問

数列a1,a2,...,an,...の各項が１より小さい正の数であるとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
ただし、n≧2とする。
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<n>) > 1-(a<1>+a<2>+...+a<n>)
という問題で、
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<k>)(1-a<k+1>) >{1-(a<1>+a<2>+...+a<k>)}(1-a<k+1>)
=1-(a<1>+a<2>+...+a<k>+a<k+1>)+(a<1>+a<2>+...+a<k>)a<k+1>
(a<1>+a<2>+...+a<k>)a<k+1> > 0であるから
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<k+1>) > 1-(a<1>+a<2>+...+a<k+1>)
という解答であったのですが、
この解答の意味がよくわかりません。そこで解答の説明をよろしくお願いします。
※<　>は数列の項数を意味します。小さい数字が出なかったので<　>を付けました。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

数列の添え字は a[n]で表すことにしますね。

・n＝ kのときに成り立つと仮定して、n＝ k+1でも成り立つことを示します。

・n＝ kのとき成り立つ不等式の両辺に、( 1- a[k+1] )をかけます。
すると、左辺は n＝ k+1の不等式の左辺の形になっています。

・右辺は、そのまま ( 1- a[k+1] )がかけられた形になっていますが、
それを展開していくと
（n＝ k+1のときの右辺）＋（正の数）

という形に変形できます。
最後の「・・・＞0であるから」の部分は、余剰となっている項が（正の数）であることを示しています。
この式は当然、（n＝ k+1のときの右辺）＋（正の数）＞ （n＝ k+1のときの右辺）となるので、
n＝ k+1のときも不等式が成り立つことが示されます。

帰納法を用いた不等式の証明は、
まず n＝ k+1の形へ持っていきつつ、余剰となる項の正負を用いる
ことが多いと思います。
慣れるのは少し大変かもしれませんが、いろいろと問題にあたってみてください。＾＾

お礼

正の数である余剰を加えた右辺はn=k+1の時の右辺よりも大きいので、n=k+1の時も不等式は成り立つのですね。解決できました。ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

式だけズラズラ書かれている、その帰納法の漸化ステップを
言葉で補足してみましょう。

(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<n>) > 1-(a<1>+a<2>+...+a<n>)　←(*1)
が n=k で成り立つと仮定すると、
(1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<k>) > 1-(a<1>+a<2>+...+a<k>)　←(*2)
と書ける。

数列 a<1>, a<2>, … の各項は１より小さいから、1-a<k+1> > 0 である。

(*2) の両辺に 1-a<k+1> を掛けると、
(1-a<1>)(1-a<2>)…(1-a<k>)(1-a<k+1>) > { 1-(a<1>+a<2>+...+a<k>) }(1-a<k+1>)　←(*3)
となる。

右辺の括弧を展開すると
= 1 - (a<1>+a<2>+...+a<k>) - a<k+1> + (a<1>+a<2>+...+a<k>)a<k+1> だが、
a<1>, a<2>, … の各項が正であることより (a<1>+a<2>+...+a<k>)a<k+1> > 0 だから、
(*3)は、結局 (1-a<1>)(1-a<2>)...(1-a<k+1>) > 1 - (a<1>+a<2>+a<k>) - a<k+1> となる。

この式は、(*1)を n=k+1 としたものである。

(そもそも帰納法が何であるかは、教科書を読んでください。
１問すらっと解説して身につくような分量の話ではありません。)

お礼

解答ありがとうございました。解決できました。やはり、分量をこなすことが大切のようですね。夏休みに復習をしっかりしたいと思います。