物理I 力学の問題

質問

物理I
力学の問題

なめらかで水平な床の上に質量Mの板が、その上に質量mの物体がおかれている。
板に水平方向の力Fを加えると、板と物体は加速度がそれぞれα、βの等加速度直線運動をした。

板と物体との間の動摩擦係数をμ' 、重力加速度をgとして、板と物体の加速度を求めよ。

板と物体それぞれについての運動方程式をたてて解こうと考えました。

模範解答の運動方程式は
板 ：Mα=F-μ'mg
物体：mβ=μ'mg

で、これを解いていました。

でも、板にかかっている質量はM+mではないのですか？
なので、(M+m)α=F-μ'mg としました。

なぜ違うのでしょうか?

グレード

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回答No.5

htms42 · ベストアンサー

「全体としてみれば」という考えをされているようですので回答を書こうという気になりました。
部分から組み立てるということだけが物理ではありません。「全体としてみれば」というのも大事な考え方です。この２つはどちらからどちらに行ってもかまわないものです。部分から組み立てた式は必ず全体としてみればということにもつながるような変形ができるようになっています。
ただあなたの書かれた式には誤りがあります。
今までに書かれている回答では、部分から考えることだけが正しいという印象になってしまいそうです。
どこがおかしいのかについての説明が欲しいだろうと思います。

＞でも、板にかかっている質量はM+mではないのですか？
　なので、(M+m)α=F-μ'mg としました。

＞「板に」ではなく「床に」の間違いでした。

床の上にある質量であればＭ＋ｍになります。
床からの垂直抗力であれば(Ｍ＋ｍ)ｇになります。

でも物体と板の質量を合わせた質量Ｍ＋ｍが加速度αで運動するとすれば誤りになります。

板と物体は別々のものだというのが理由ではありません。
「板と物体が異なる加速度α、βで運動した」と書かれているからです。
「一緒に動いた」と書かれていれば(Ｍ＋ｍ)γ＝Ｆになります。物体と板との間に働く摩擦力は式の中に出てきません。あなたの書かれた式　(Ｍ＋ｍ)α＝Ｆ－μ'ｍｇ　は誤りです。左辺は一体として運動しているとした時に成り立つ表現です。右辺は板と物体を別々のものとして見た時の表現です。

どういう物体に着目して運動方程式を立てるかについては任意性があります。
個々の物体について考えることもできますが全体としてという立場で式を立てることもできます。
どういう立場で考えたかによって式の中に出てくる力が異なります。
考える物体を決めると質量が決まりますが力も決まります。運動方程式に出てくるのは外力です。力と質量は連動しているのです。物体内部で働いている力（内力）は運動方程式には出てきません。
板と物体を別々に考えている時、板と物体の間に働く力（摩擦力）は外力ですが、板と物体を合わせて考える時には摩擦力は内力になります。運動方程式には外力であるＦしか出てきません。

別々の加速度で運動したという場面に(Ｍ＋ｍ)γ＝Ｆを当てはめたとするとγは重心の加速度になります。
質量がＭ＋ｍになっていますから２つを合わせたものです。その時の位置として意味を持つのは重心だということです。γ＝Ｆ/(ｍ＋ｍ)
一方、重心の定義より、γ＝(Ｍα＋ｍβ)/(Ｍ＋ｍ)　です。これは別々のものとして立てた運動方程式から摩擦力を消去した時に得られる式と同じです。
γが決まっても、α、βは決まりません。α、βを決めるためには板と物体の間に働く力（摩擦力）が必要になります。

＃４
＞運動方程式を立てる際には、徹底的に”近視眼的に”見ましょう、と。
　着目している物体だけに目を向けるだけで良いのです。

どういう物体に着目するかには任意性があります。
ただ、こういう風に物体を見ようと決めたら、その立場を一貫させるというのは必要なことです。

運動方程式は部分から組み立てた形になっていますがどういう風に分割して部分を考えるかには任意性があります。視覚的に別々のものだということとは関係がありません。「別々の運動をしているのかどうか」が「別々のものかどうか」の判定基準です。同じ運動をしていれば同じ物体としてもいいのです。
列車の運動を考えるのであれば一両だけの電車でも１０両編成の列車でも区別する必要はありません。乗客が何人載っているか、荷物の量はいくらかも関係がありません。人が動いていても関係がありません。質量に違いがあるだけです。
人と列車の相対運動が問題になる場面では人と列車の間に働く力が必要になります。

太陽の周りの楕円軌道を考える場合であれば月と地球を合わせた質量で考えます。楕円軌道になるのは月と地球を合わせて１つと見た時の重心の軌跡です。

「部分としてどういうものを考えるかには任意性がある」
「どういう部分の取り方をしたかに、結果は関係しない」
これが言えるからこそ「物体の運動を原子から組み立てて考える必要はない」ということが成り立つのです。

お礼

皆様回答ありがとうございました。

回答No.4

Quarks

ここのところは、肝ですから、運動方程式の立て方・考え方を身につけましょう。

運動方程式は、着目する物体の質量ｍ，これに加わっている合力Ｆ，物体に生じる加速度ａとの関係を表したものです。

質量：もちろん、物体の質量＝ｍ、一方、板の質量＝Ｍ　です。板と物体は接触していますが、板と物体とは異なる物体ですから、板の質量に物体の質量を加える必然性が有りません。いえ、加えること自体が間違いです。この板は、床に接していようと床から離れていようと、物体と接していようと、物体から押されていようと、宇宙空間に浮かんでいようと…、板は板でしかありません。ですから、板の質量は、Ｍでなければおかしいわけです。

力：もちろん、板に働いている力のことですよね。
その意味は…
床にどんな力が働いていても、その力は板に働く力ではありませんから、それを加味してはいけません。
板に接している物体に働く力もそうです。物体に働いている力は、板に働いている力ではありませんから、物体に働く力を加味してはいけません※

加速度：ここでも、板の加速度であって、床や物体の加速度とは基本的に別ものです。板に対して物体が加速度運動していようとも、物体の加速度は板の加速度とは別ものです。

こう言っても良いでしょうか。運動方程式を立てる際には、徹底的に”近視眼的に”見ましょう、と。
着目している物体だけに目を向けるだけで良いのです。
周囲の物体は、（着目している物体と接している場合に限って）力を加えてきている物体に過ぎません※。直接接していない物体は基本的にその存在を考慮する必要がありません。

※物体に働く力は、重力・電磁力を除けば、接している物体からしか作用しません。
たとえば、床の上の板の上に載っている物体は、床とは接していませんから、「床からの垂直抗力」などという力を考えてはいけないのです。物体には、これと接している板からの垂直抗力や摩擦力、そして地球からの重力を考えれば良いだけです。３輛編成の列車の先頭車輌に対して、これと直接接していない最後列の車両からの力は作用していません。先頭車輌にに作用するできるのは、２輛目の車輌しかありません。

回答No.3

rnakamra

#2のものです。

>総合的な質量は「板+物体」でM+mである。
全体を一つの質量の物体として扱うのは、それが完全に一体である場合に限ります。
運動方程式を立てるときは必ずそれぞれの物体についてかかる力を全て書き出し、それに基づいて式を立てます。

たとえば、今回の問題で床が板に加える垂直抗力を考えて見ましょう。
#2で私は垂直抗力を(M+m)gをしましたが、これは板と物体を一体にして考えたからではありません。
板についての運動方程式を解くとこのような値になるのです。
板にかかる鉛直方向の力を全て書き出して見ましょう。
板にかかる力は
1.板にかかる重力
2.物体が板を下向きに押す力
3.床から受ける垂直抗力

下向きを正としてそれぞれの値を出す。
1.はMgとなります。これを物体と一体にして(M+m)gとしてはいけません。
2.はmgとなります。
実はこれも単純に物体にかかる重力をそのまま書いているわけではありません。
上の物体の運動方程式を解くとこのような値になるのです。
3.これは今の段階ではわからないので-N(上向きだから負であるのは明らかなのでマイナスをつけておきます)としておきます。

板にかかる力の合力は
Mg+mg-N=(M+m)g-N
となります。
板の鉛直方向への加速度は"0"ですのでF=Maに代入し
(M+m)g-N=M*0=0
N=(M+m)g
となります。この過程を経て垂直抗力の値を出しているのです。

一見明らかなことを遠回りしているようですが、たとえば板の上面が斜面になっているような問題ではこのような式を立てないと正しい結論を得ることが出来ません。

回答No.2

rnakamra

>板にかかっている質量

意味不明。質量とは力ではありません。かかるものではありません。その物体固有の物理量です。他の物体が接触していようが質量は変化しません。
板にかかっている床からの垂直抗力なら(M+m)gにはなるが。

補足

板の上に別の物体がのっているので
総合的な質量は「板+物体」でM+mである。
でも、運動方程式をたてるにあたって
「板」に注目した場合
その上に何がのっていようと「板」自体の質量はMである。

ということでいいのでしょうか？
だから、「板」自体に注目した運動方程式は
Mα=F-μ'mg
なんでしょうか？

回答No.1

vollgins

板にのってるのは「質量mの物体」だけだろｗｗ

補足

すみません。
「板に」ではなく「床に」の間違いでした。
運動方程式
質量×加速度＝働いている力
がたつと思ったのですが
板の上にのっている質量mの物体は考慮されていなかったので
そこのところが分からないです。