摩擦の問題を教えてください

質問

「なめらかな水平面（摩擦が働かない水平面）上に質量Ｍの十分に長い板が，始めは静止した状態で置かれている．その上に質量ｍの物体があり，その物体だけに水平方向，速さvの速度を与えた．その物体は板の上を滑った後，板と共に速さv1で等速運動をした．重力加速度の大きさをg，物体と板の間の動摩擦係数をμとして次の問題に答えよ．
(1)速さμを求めよ．
(2)物体が板に対して静止するまでの時間を求めよ．
(3)物体が板に対して静止するまでに滑った距離を求めよ．」

まず，動摩擦力f=μmg
動摩擦力f=物体の持つエネルギーになったときに，物体が板に対して静止する．
だと思いましたが，この先がわかりません．
どうやって求めればいいのでしょう？

回答No.5

rnakamra · ベストアンサー

#2のものです。
>(1)は具体的には，どういう式で求められるのですか？

初めの状態で上の物体が持っている運動量:m*v
初めの状態で下の板が持っている運動量:M*0=0

両方がv1の状態で上の物体が持っている:m*v1
両方がv1の状態で下の板が持っている:M*v1

この和が保存していることから求めるといいでしょう。

ついでに言っておきますと#1の補足で
>失ったエネルギーが板に与えられたエネルギーになるのですね．
といっていますが、そうはなりません。

上の物体が失った運動エネルギー=(摩擦力)×(上の物体の移動距離) (A)
下の板が得た運動エネルギー=(摩擦力)×(下の板の移動距離) (B)

となりますが、(A)と(B)では摩擦力の大きさは等しいのですが、移動距離が異なります。ですからこの二つの式の値は一致しません。

(A)と(B)の差は(摩擦力)×(移動距離の差)
となりますが、移動距離の差とは問題でいうところの物体が板に対して滑った距離にあたります。つまり、滑った距離は運動エネルギーの和の減少分を摩擦力で割ることでも得ることができます。

お礼

ありがとうございます．
ようやくわかりました．
これからもよろしくお願いします．

回答No.4

hitokotonusi

質点系の重心の位置ベクトルを求める式を書き下し、それを時間で微分すれば速度についての関係式になります。

ちなみに、重心の速度に全質量をかけたものを全運動量と呼び、外力が働かない場合は全運動量が変化しないという運動量保存則が導かれます。

お礼

ありがとうございます．
微分が必要なんですか．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

hitokotonusi

2番さんと少しちがう視点で解いてみます。

(1) 物体と板を一つの系と見ると、摩擦力は内力で外力が働いていないから重心は等速直線運動をする。『物体が板に対して静止する』とは、物体と板が一体になって運動するということなので、その時の速さv1は重心の速度に等しいので、初期状態の重心の速度を求めることでv1を求めることができます。結局は2番さんの運動量保存と同じことなんですが。

(3) 広義のエネルギー保存則はいつでも成立するので、摩擦力のした仕事は運動エネルギーの差に等しくなります。移動距離をLとすると摩擦力のした仕事は-μmgLになるので、

-μmgL = (v1になったときの運動エネルギー)-(初期状態の運動エネルギー)

で求めることができます。

(2)は普通に運動方程式を解いてください。

お礼

ありがとうございます．
物体が板に対して静止したときに，その２つを１つのものとして考えればいいのですね．
では，式はどのようになるのでしょう？まだピンときません．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

rnakamra

摩擦が働いているとき、摩擦により運動エネルギーの一部が熱に変わってしまいますので運動エネルギーの和は保存しません。

この場合、もうひとつの保存量である運動量保存から式を立てればよいでしょう。

(1)求めるのは速さv1ですね。
これは上の物体だけが動いているときの運動量と、両方が同じ速度で動いているときの運動量から計算するのが速いでしょう。
もちろん、摩擦力から両方の物体の加速度を計算して、速度の時間変化から計算してもよいのですが、運動量保存ｋら計算するほうが易しそうです。

(2)下の板の加速度と初速(=0)と終速(=v1)がわかるのでそこから計算できます。もちろん、上の物体の加速度、初速、終速から計算してもOK。

(3)物体が一定速度になるまでの間に床に対して移動した距離と板が移動した距離を求めれば、後は引き算するだけ。

補足

ありがとうございます．
(1)は具体的には，どういう式で求められるのですか？
(2)と(3)は(1)がわかればできる気がします．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

DIooggooID

物体が板に対して静止するのは、

動摩擦力f　＞　物体の持つエネルギーになったときです。

最初に与えられた、速さv　が　徐々に遅くなって、・・・
　　　動摩擦力f　＞　物体の持つエネルギー
のような状態になるまでに失ったエネルギーが、・・・

質量Ｍの十分に長い板に与えられたエネルギーです。

お礼

ありがとうございます．
失ったエネルギーが板に与えられたエネルギーになるのですね．
これからもよろしくお願いします．