応用数学の問題がわかりません

質問

(1)次の関数を z=0 のまわりでTaylor展開せよ

1/(z^2-z-2)

(2)aを実数とする. z=a と z=-a のそれぞれのまわりにおいて,次の関数をLaurent展開せよ

1/(z^2-a)

上記の２問なのですが,どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えて頂けませんでしょうか…

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

補足と間違いの修正。

>この式は1/(z^2-a^2)の間違いですか？もちろんご質問の式でも展開は出来ますが普通のテーラー展開になっちゃいます。(ただしa≠1)

問題が1/(z^2-a)をz=a,z=-aの周りでローラン展開をするという問題でしたら、a≠1の場合とa=1の場合で場合わけが必要です。
なぜなら、z=a,z=-aが特異点になる場合とならない場合を分けないといけないからです。
a≠1の場合、z=a,z=-aともに特異点にはなりません。この場合は、単にz=a,z=-aのまわりでテーラー展開すればいいでしょう。定義どおりに計算してもよいし、部分分数展開(根号があるため少しだけ面倒だが)をして#1で述べたとおりに計算しても良い。

a=1の場合、z=1,z=-1はともに特異点となり1位の極です。
この場合は、分母を因数分解し#1で述べたとおりにやればよい。

最後に
>最後にこの展開式を1/(z-a)で割ればよい。
これは(z-a)で割ればよい、の間違いです。

回答No.1

rnakamra

1/(1-z)
のz=0まわりでのテーラー展開はわかりますか。
1/(1-z)=1+z+z^2+z^3+…=Σ[n:0～∞]z^n
ですね。
この形に持っていくと良いでしょう。

たとえば1/(z+3)のz=0の周りのテーラー展開は
1/(z+3)=(1/3)*1/{1-(-z/3)}
と考えれば
1/(z+3)=(1/3)*Σ[n:0～∞](-z/3)^n=Σ[n:0～∞]{-(-1/3)^(n+1)*z^n}
となります。

さらに1/(2-z)をz=1のまわりでテーラー展開する場合は
1/(2-z)=1/{1-(z-1)}=Σ[n:0～∞](z-1)^n
となります。(z-1)を作り出すことが肝要です。

(1)
1/(z^2-z-2)
部分分数に分けて見ましょう。すると上の形がすぐに使えます。

(2)
この式は1/(z^2-a^2)の間違いですか？もちろんご質問の式でも展開は出来ますが普通のテーラー展開になっちゃいます。(ただしa≠1)

ここでは1/(z^2-a^2)をz=aの周りでローラン展開してみます。
z=aは1位の極ですので、1/(z-a)*f(z)の形に変形し、f(z)をz=aのまわりでテーラー展開すればよい。

1/(z^2-a^2)=1/(z-a)*1/(z+a)
1/(z+a)のz=aのまわりでのテーラー展開は
1/(z+a)=1/{2a-(-(z-a))}={1/(2a)}*{1/1-(-(z-a)/(2a))}
と変形すれば後は先ほどと同じように展開できます。
最後にこの展開式を1/(z-a)で割ればよい。

お礼

非常に丁寧に回答して頂きありがとうございます！

(2)の式は間違えていませんので問題自体がおかしいのかもしれません…；