総和の計算

質問

以下の総和の(極限の)求め方が分からずちょっと困っています。

Σ_[n=1,∞](n*2^(-n))

wolframさんに聞くとどうやら2のようですがどうやって出せばいいのか分からず・・・

回答No.2

okormazd · ベストアンサー

次のようにするのはダメなのでしょうか。

Sn=Σ_[k=1,n](k*2^(-k))
1/2Sn=Σ_[k=1,n](k*2^(-k+1))
辺々引いて、
Sn(1-1/2)=Σ_[k=1,n](2^(-k))-n*2^(-n+1)

で、

lim(n→∞)Sn(1-1/2)

とするとか。

回答No.3

okormazd

#2です。

間違ってました。

(-k+1)のところ、(-k-1)
(-n+1)のところ、(-n-1)

ですね。

ちょっといい加減にやったので、まだ勘違いしているかもしれない。

ごめんなさい。

お礼

ありがとうございます
その解法けっこうわすれるなぁと・・・
こちらをベストアンサーにさせてもらいます

回答No.1

Tacosan

やり方はいろいろある.
・微分が使えれば難易度は高くない. Σ_[n=1,∞] x^(-n) を x で微分.
・(絶対) 収束するので和の順序を変える. n=1+1+...+1 に注意.
・「勝率 1/2 の賭けを, 負けるまで続けたときの回数」の期待値とも取れる.

お礼

ありがとうございます
解き方いろいろあるんですね