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総和の計算。
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#1のものです。 >ただ一つ疑問なのですが、 >証明すべき右辺の総和はΣn=1,∞なので、 >整理する際に >Σk=1,nとΣn=1,∞をΣk=1,∞と一つにまとめ、 >式中のnは全てkと置き換え（n=kとする）ました。 いけません。 まず、f(x)をフーリエ級数展開した式ではΣm=1,∞と文字を変えて置くべきでしょう。前のΣで文字nが使われていますので避けたほうがよい。 次に、(1,2)でn→∞とした極限が求める式ですので(1,2)と証明する式はそのままでは一致しません。 Σ[k:1→n]Σ[m:1→∞]{・・・} では、m=k以外の項が全て0になりますので Σ[k:1→n]Σ[m:1→∞]{・・・}=Σ[k:1→n]{・・・でm=kとしたもの} と変形することはできます。 このように変形してからn→∞の極限をとればよいでしょう。
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- rnakamra
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(1.1)の式にf(x)をフーリエ級数で表した式を代入すれば出てきます。 確かにΣが二つ出てきますが問題ありません。 一つの項を除き全て"0"になります。 実際に ∫[x:-π→π]cos(mx)cos(kx)dx と ∫[x:-π→π]sin(mx)cos(kx)dx と ∫[x:-π→π]sin(mx)sin(kx)dx を計算してみてください。
お礼
見づらい問題ながら、回答ありがとうございます。 >実際に >∫[x:-π→π]cos(mx)cos(kx)dx >と >∫[x:-π→π]sin(mx)cos(kx)dx >と >∫[x:-π→π]sin(mx)sin(kx)dx >を計算してみてください。 上から m=kのとき"π"、 mとkの関係を問わず"0"、 m=kのとき"π"、 でよろしいでしょうか？ 実際に代入して解いていくと、次の項が残りました。 cos(nx)cos(kx)、sin(nx)sin(kx) これらの項を和・差に直し、整理した結果答えに辿りつけました！ ただ一つ疑問なのですが、 証明すべき右辺の総和はΣn=1,∞なので、 整理する際に Σk=1,nとΣn=1,∞をΣk=1,∞と一つにまとめ、 式中のnは全てkと置き換え（n=kとする）ました。 このような総和の統合（？）を行っても良かったのでしょうか…？
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お礼
上記の方法でやっていったところ、解決しました。 2回にわたっての回答、ありがとうございました。