円孔を有する無限板の境界条件

質問

円孔を有する無限板に次のような力がかかっています。
円孔の半径はaです。
極座標で考えています。
(1)一軸引っ張りPのとき
円孔表面の境界条件は
σr（ｒ＝a）=0 τrθ（ｒ=a）＝０　という条件はどう考えたら出てきますか？
また
σθ(r=a)＝0としていけないのはなぜですか？

(2)r=∞でせん断応力Sのとき
円孔表面の境界条件はどうなりますか？
σr（ｒ＝a）=0 τrθ（ｒ=a）＝０　としてよいのでしょうか？

分からないところは
Airyの応力関数を決定する際の円孔表面の境界条件です
無限遠の境界条件はわかります。
無限遠に力がはたくときの円孔表面の応力をどう考えたら良いのでしょうか？
分かる方、どうかお願いします。

回答No.1

h191224

> σr（ｒ＝a）=0 τrθ（ｒ=a）＝０　という条件はどう考えたら出てきますか？

これに対する答は、「円孔表面が自由境界だから」です。
(1)(2)の両方とも、理由は同一です。

一般に、表面に荷重が作用していない境界表面（自由境界）上では、次の条件が常に成り立ちます。

ａ．表面に垂直な方向(ｎ)の、垂直応力成分σｎは０。
ｂ．表面に垂直な方向(ｎ)に関係するせん断応力成分、τｎｓとτｎｔは０。
（ｓとｔは、表面の２つの接線方向）

これらは、応力の定義である「応力＝荷重/断面積」をかみ締めて考えれば、理解できることです。
（もし理解できなければ、応力の定義がわかっていないということなので、これ以上進むことはできません。）

ついでに次のことも書き添えておきましょう。
ｃ．表面に平行な方向(ｓおよびｔ)の、垂直応力成分σｓとσｔ、および、せん断応力成分τｓｔは、一般には０とはならない。

以下、簡単のために、平面応力問題と仮定します。
要するに、厚み方向をｚとすれば、ｚに関する応力成分はすべて０という問題を仮定します。

(1)も、(2)も、円孔表面（ｒ＝ａ上）が自由境界なのですから、ｒ＝ａ上では、次の２つが成り立たなければなりません。
ａ．垂直な方向(ｒ)の垂直応力成分σｒ＝０
ｂ．平行な方向(θ)のせん断応力成分τｒθ＝０

おわかりですか？

> σθ(r=a)＝0としていけないのはなぜですか？
自由境界上で常に成り立つ条件は、ａとｂだけです。
σθは、表面に平行な方向の垂直応力成分なので、一般的には０にはなり得ません。
（条件によって、たまたま０となるかも知れませんが…）

お礼

とても分かりやすい説明ありがとうございました！