高１数学の問題です。

質問

nを正の整数とする。
√(n^2+1)の整数部分をa 、小数部分をbとするとき、
-a+1/b の値を求めなさい。
また、-a+1/b=5√2となるnの値を求めなさい。

一応自分で考えてみたのですが、解き方が分かりません。
よろしければ回答お願いしますm(__)m

回答No.4

やまぎ さだかず（@yas4427） · ベストアンサー

先ずは整数部分、小数部分の説明から。
例えば π＝3.14 としたとき。3.14の小数点より左の「3」を整数部分。小数点より右の「0.14」を小数部分といいます。
なので、πの小数部分はπから整数部分の３を引いた「π-3」となります。

質問の解答

(n+1)^2　> n^2+1 > n^2 のかく辺にルートをつけると
n+1 > √(n^2+1) > n より　√(n^2+1)の整数部分はｎ

( 例えば、3+1 > 3.14 > 3 のとき　3.14の整数部分は3 )

整数部分 : a = n , 小数部分 : b = √(n^2+1) - n

次に、-a+1/b の計算ですが、先に1/bの計算をします。

1/b = 1/(√(n^2+1) - n) = ( √(n^2+1) + n )/(n^2+1-n^2) = √(n^2+1) + n

（↑２つ目から３つ目は、分母分子に「√(n^2+1) + n」をかけた有理化です。）

-a+1/b = -n + √(n^2+1) + n = √(n^2+1)

最後に、-a+1/b=5√2

5√2 = √50

-a+1/b = √(n^2+1) = √50

両辺を２乗すると、n^2+1 = 50

n>0より　n = 7

お礼

詳しく教えていただきありがとうございます。
一番分かりやすかったので、ベストアンサーにさせてもらいます。

回答No.3

info22_

a=n, b=√(n^2+1) -n=1/{√(n^2+1) +n}
なので 1/b=√(n^2+1) +n

-a+(1/b)=-n+n+√(n^2+1)=√(n^2+1)

√(n^2+1)=5√2
n^2+1=50
n^2=49
nは正整数なので　n=7

お礼

ありがとうございました！
理解できました。

回答No.2

rnakamra

n>0のとき
n^2<n^2+1<(n+1)^2
が成り立ちます。
この式の平方根を取ると
n<√(n^2+1)<n+1
となり、a=nであることがわかります。
b=√(n^2+1)-a=√(n^2+1)-n
です。

お礼

ありがとうございました！
参考になりましたm(__)m

回答No.1

nattocurry

n^2<n^2+1<n^2+2n+1=(n+1)^2
n<√(n^2+1)<n+1

a=n
b=√(n^2+1)-n

-a+1/b=-n+1/{√(n^2+1)-n}
=-n+{√(n^2+1)+n}/{(n^2+1)-n^2}
=-n+√(n^2+1)+n
=√(n^2+1)

√(n^2+1)=5√2
n^2+1=50
n^2=49
n=7

お礼

こんなに早く回答していただいてありがとうございました！