物理問題

質問

物理の課題２

もう2問わからない問題があるので、どうか教えてください。。

●図3.67のように、長さが15cmの厚い平行平面ガラス板を二枚重ね、一方の端に厚さが0.015nmの薄い紙をはさんだ。真上 からガラス面に垂直に波長5.9×10^-7ｍのナトリウムランプの光を当てて真上から見ると、ガラス板の稜線に平行な明暗のし ま模様が見られた。

（a）真上から見ると明暗のしま模様が見えるのはなぜか。
（ｂ）となりあった明線の間隔はいくらか。
（ｃ）2枚のガラス板の間に屈折率が1.36のエタノールを入れると、となりあった明線の間隔はいくらになるか。

●図3.68のように、スクリーンの前方72cmの位置に物体ABを置き、凸レンズをスクリーンから物体の方向に少しずつ移動させた ところ、レンズが図の点Pと点Qにきたときに、スクリーン上に大きさがそれぞれ1.0cmと25.0cmの実像が生じた。

（a）物体ABの大きさはいくらか。
（ｂ）点Pはスクリーンからいくら離れているか。
（ｃ）この凸レンズの焦点距離はいくらか。

という問題です。あと2問だけわからないので、どうかよろしくお願いします。。

回答No.1

SKJAXN

●図3.67 本問は真空中での干渉という認識でよろしいでしょうか？　真空中ではない場合、例えば空気中である場合は、空気の温度、および温度に対する屈折率をご教示願います。以下、真空中という下で解答いたします。

(a) 上のガラス板の下側で反射する光と、下のガラス板の上側で反射する光が干渉し合う。上のガラス板が斜めになっていることから光路差が各位置で異なるため、2つの波形が同位相で干渉して強め合い明るくなる位置と、逆位相で干渉して弱め合い暗くなる位置が存在するため。

(b) ガラス板の長さをL=1.5*10^(-1)[m]、薄い紙の厚さをd=1.5*10^(-5)[m]、ナトリウムランプ光の波長をλo=5.9*10^(-7)[m]とおきます。上のガラス板の左側からx[m](0≦x≦L)での位置における光の干渉に着目すると、その位置での厚さyは、y=(d/L)*x です。よって経路差は2yですが、光が下のガラス板の上側で反射する際に、ガラス板の屈折率の方が大きいことにより位相がλo/2だけずれるため、光路差は 2y+λo/2 となります。これを光の波長λoで割った値をzとすると
z=(2y+λo/2)/λo=(2*(d/L)*x+λo/2)/λo=2*d/(L*λo)*x+1/2
⇔ 2z*L*λo-1=4d*x ⇔ x=(2z*L*λo-1)/(4d)

明線となる条件は、zが整数となることです。よって、p番目の明線とp+1番目の明線の差を求めれば良い訳です。その差分⊿xは、
⊿x=(2*(p+1)*L*λo-1)/(4d)-(2*p*L*λo-1)/(4d)
=((p+1)*L*λo)/(2d)-(p*L*λo)/(2d)=(L*λo)/(2d) →{1}

値を入れると、⊿x=1.5*10^(-1)*5.9*10^(-7)/(2*1.5*10^(-5))=2.95*10^(-3)
よって解答は、2.95[mm]です。

(c) エタノールの屈折率をn=1.36、波長をλeとおくと
n=λo/λe⇔λe=λo/n →{2}

式{1}より、差分⊿xと波長λは比例関係にあることが分かります。式{2}より、エタノールを入れることで波長が1/nになるため、差分も1/nになります。すなわち 2.95/1.36=2.169・・・
よって解答は、小数点第3位を四捨五入して、2.17[mm]です。

●図3.68 スクリーンと物体の距離を無視できる程度に光源が遠くにあり、物体にはほぼ平面波が照射されるとして解答いたします。

(a) スクリーンと物体の距離をL=72[cm]、物体の大きさをYo、スクリーンから点Pまでの距離をXp、その際にスクリーンに映る実像の大きさをYp=1[cm]、スクリーンから点Qまでの距離をXq、その際にスクリーンに映る実像の大きさをYq=25[cm]、レンズの焦点距離をfとすると、レンズの公式より
1/(L-Xp)+1/Xp=1/f ⇔ f*L=(L-Xp)*Xp →{1}
1/(L-Xq)+1/Xq=1/f ⇔ f*L=(L-Xq)*Xq →{2}

物体のBの部分の光はレンズの光軸と等しいため、レンズをそのまま通過してスクリーンに映ります。Aの部分の光はレンズを介して右斜め下へ屈折し、焦点を通過してスクリーンには光軸より下側に映ります。よって、点Pまたは点Qと「物体のAの部分に対応する光がレンズに照射された点」と焦点で囲まれる三角形と、「光軸がスクリーンと交わる点」と「光軸がスクリーンと交わる点からYpまたはYq下側の点」と焦点で囲まれる三角形は相似であるため
Y/f=Yp/(Xp-f) ⇔ Xp=f/Y*(Y+Yp) →{3}
Y/f=Yq/(Xq-f) ⇔ Xq=f/Y*(Y+Yq) →{4}

式{3}を式{1}へ、式{4}を式{2}へ代入して
f*(Y+Yp)^2=L*Y*Yp →{5}
f*(Y+Yq)^2=L*Y*Yq →{6}

式{5}から式{6}を割って
Yq*(Y+Yp)^2=Yp*(Y+Yq)^2 →{7}

式{7}の平方根をとって、Yについて整理すると Y=√(Yp*Yq) となり、値を入れると、Y=√25
よって解答は、5[cm]です。

(b) 式{5}より f=L*Y*Yp/(Y+Yp)^2 値を入れると、f=72*5*1/(5+1)^2=10
式{3}に値を入れると、Xp=10/5*(5+1)=12
よって解答は、12[cm]です。

(c) (b)より解答は、10[cm]です。

いかがでしょう？