どこで間違ったのでしょうか？（静磁場）

質問

すいません。煮詰まりました。

　Biot-Savart関連で、磁場をＨとして、rotＨ＝0を求めようと思いました。Ｈ＝rotＡでベクトルポテンシャルを導入し、

　　rot(rotＡ)＝∇(divＡ)－ΔＡ＝0　　　(1)

となります。Ａに∇φ分の不定性があるのは理解しています（φはスカラー）。それでdivＡ＝0でＡを固定し、

　　ΔＡ＝0

を、原点について等方的なときに解いて、

　　Ａ(r)＝－Ｃ／|r|　　(1)

を得ました。rは位置ベクトルで、Ｃは定数ベクトルです。検算すると、

　　　　rot(rot(－Ｃ／|r))＝rot(Ｃr／|r|^3)＝Ｃdiv(r／|r|^3)＝Ｃ(3／|r|^3－3|r|^2／|r|^5)＝0

となりました。もちろんr＝0は除外して考えています。

　そうすると、

　　∇(divＡ)－ΔＡ＝rot(rotＡ)＝0

なので、ΔＡ＝0から、

　　∇(divＡ)＝0

となって文句ないのですが、Ａの具体的な形(1)を使用すると、

　　divＡ＝－Ｃ・∇(1／|r|)＝Ｃ・r／|r|^3

となり、とてもdivＡ＝0（または定数）になるとは思えません。「・」は内積を表します。∇(divＡ)＝0？、についても同様です。

　どこで間違ったのでしょうか？

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

とりあえず、
＞rot(rot(－Ｃ／|r))＝rot(Ｃr／|r|^3)＝Ｃdiv(r／|r|^3)＝Ｃ(3／|r|^3－3|r|^2／|r|^5)＝0
この計算は間違えていますね。

ベクトルをC↑のように表すことにすると、
rot(-C↑/|r|)
= -grad(1/|r|) × C↑
= r↑×C↑/|r|^3

よって、
rot(rot(-C↑/|r|))
= rot(r↑×C↑/|r|^3)
= (div(r↑/|r|^3))C↑ - (C↑・grad)(r↑/|r|^3)
= - (C↑・grad)(r↑/|r|^3) (第一項はゼロになるので)
ただし、(C↑・grad)(r↑/|r^3|)は、(C_x ∂/∂x + C_y ∂/∂y + C_z ∂/∂z)(r↑/|r|^3) の意味です。
どの式変形も、一般的に知られているベクトル解析の公式を使えば出ます。

お礼

おかげさまで、計算ミスがわかりました。

　この後、関連したもともとの疑問をアップするつもりです。

　よろしければ、またお付き合い下さい。

補足

ありがとうございます。

　まずrot(－Ｃ/|r|)＝Ｃ×r／|r|^3で、×を書き忘れていました。ご指摘の通りです。

　テンソル記法で展開して、

　　∇×(b×c)＝(∇・c)b－(∇・b)c－(∇c)b＋(∇b)c

を確認しました。（∇bと∇cは、bとcのヤコビ行列）

　　a×(b×c)＝(a・c)b－(b・b)c　　　(1)

を単純に当てはめたのが原因です。そうですよね。(1)のaが∇の場合、微分演算と成分を、交換できないところが出ますよね。

　安易でした、

回答No.2

endlessriver

ベクトル場として球対称が仮定されているようです。すると、極座標系で
rot A↑=( Aφ/(r tanθ), -(1/r)∂(rAφ)/∂r, (1/r)∂(rAθ)/∂r )

このrot A↑も球対称だから Aφ=0となり、結局
rot A↑=( 0, 0, (1/r)∂(rAθ)/∂r )

つぎに、div A↑を極座標系で考えると、同様に第２項の Aθ/(r tanθ)がθに無関係、すなわち、Aθ=0　をえる。

すなわち、 A↑はAr成分しかなく、rot A↑=0でこれのrotも０．
さらに、rot(rotＡ)＝∇(divＡ)－ΔＡ＝0だから、∇(divＡ)=ΔＡ
この式を球座標で解くと、Ar=0 を得ます。すなわち、A↑=0。

お礼

この後、関連したもともとの疑問をアップするつもりです。

　よろしければ、またお付き合い下さい。

補足

ありがとうございます。

　∇(divＡ)=ΔＡを解いた事はありませんが、Ａ＝0の結果は信じます。質問文に挙げたＡの形だと、rot(rotＡ)＝0になる先入観があったので、計算ミスし、∇(divＡ)=0にならないのは、どうして？、となった訳です。

　divＡ≠0なのも気になりますが、ゲージの話なので、別途考える気でいます。