円形度の解法について

質問

教えて下さい。
円形度は、４π*S/L^2
S:面積
L：周囲長
で求められ、真円に近いほど１になる。とあります。
この式の証明方法について、教えて下さい。
なぜ、この式で真円具合がわかるのか不明です。
また、円が楕円に変化した場合に、
例えば、楕円にて
　１、長軸：３、短軸：３
　２、長軸：３、短軸：２
　３、長軸：３、短軸：１
と言った感じで．．．
この比率にどういう変化が生まれるのでしょうか？
逆に円形度、0.98と0.97では、どのくらい形がかわるのでしょうか？

回答No.1

ranx

円の半径をrとすると、
面積S=πr^2
周囲長L=2πr
ですから、4π*S/L^2は確かに1になりますね。
一般に、周囲長を一定に保ったまま形状を変えると、
真円の場合に最も面積が大きくなります。
ですので、4π*S/L^2の値は、真円の場合に最も大きく
なり、それ以外の形状では0から1の間の値になります。
値の大小が真円に近いかどうかを表すかというのは
定義の問題もあるので何とも言えませんが、目安としては
使えると思います。
楕円の周の長さは面倒なので、暇があったら計算してみます。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
定義で追うと、あっさり証明できますね。
気が付きませんでした。