楕円の方程式について

質問

楕円の方程式について
原点に軸の端点が接し、円弧上通過する一点の座標が分かっている楕円があります。
この楕円の、短軸と長軸の比率が分かっているとき、楕円の方程式を作ることは可能でしょうか。式にして教えていただけますと大変助かります。よろしくお願いいたします。

回答No.3

CC_T

>　軸は縦軸に接するとして、更に軸も傾いています。
軸が縦軸に接する場合、yの項目を（y-b）として解けばいいわけで。

更に軸が傾いている場合は座量系を変換した形で考えればよい。つまり、原点が同一でX-Y座標を回転した座標系X'-Y'座標で処理する。

つまり、X'^2/a^2＋(Y-b)^2/b^2=１　を基本式として処理する。
通過する座標はx-y座標で与えられるでしょうから、これをX'-Y'座標に換算して代入すれば、Ｘ’，Ｙ’での楕円の方程式が導けるでしょう。

ま手間増やすわけですね。
　X'＝x・cosθ-y・sinθ
　Y'＝ｙ・sinθ＋xcosθ
といった関係式を使えばいい（なぜそうなるかの詳細は”座標回転”などで検索して見てください）。
　:θはY'とY軸が交差する角度、すなわち軸の傾きです。

なお前回答のように、交差角が何度か不明では楕円が一意に決まりませんので、計算不可能です。

回答No.2

CC_T

無理です。もっと条件が必要ですね。
・円弧上の他の2点
あるいは、
・縦横どっちの軸が原点に接しているのか
・軸の傾き
といった拘束条件が必要ですね。

実際に絵をかいてみればなぜ無理なのか、イメージできると思います。原点で風船咥えてふくらますような感じ。同じ１点に接するとしても、どっち向いてふくらますかによって風船の大きさは変わりますね。

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例えば、軸の傾きは無しでどちらの軸が接しているか分かっているならば、原点を中心とした拡大縮小の変化になるので、式を導くことは可能です。

楕円の基本方程式は
　x^2/a^2+y^2/b^2=1
で、軸の１端が原点(0,0)を通るということですから、例えば横軸が原点に接する場合は
　(x-a)^2/a^2+y^2/b^2=1
って式になりますね。
aとbの比率が分かっているのであれば、bをaで表せ、更に通過点の座標(x1,y1)を代入すればaについての方程式が得られれ、aが求められる。
aが計算できればbが定まりますので、元に戻って楕円の式が導けますね。

例えば…b=2aで(2,1)を通る場合は...a=17/16、ｂ＝17/8になるのかな？
（検算してないから間違ってたごめんなさい）

こんな所でどうでしょうか？

補足

ご丁寧な回答ありがとうございます。
軸は縦軸に接するとして、更に軸も傾いています。
以上の条件で今一度御教示頂けますか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

hashioogi

この楕円の長軸がX軸に平行なのかどうかよくわかりませんが平行と仮定して…、
今わかっている楕円上の点は
(1) 原点
(2) どこかの1点
の2点だけですが、最低3点はないと無理な気がしますけど…。

補足

ご回答ありがとうございます。
補足させていただきますと、軸は縦軸に接するとして、さらに、軸は傾いています。この追加条件にて御教示頂けますでしょうか。
お手数おかけしますが、宜しくお願いいたします。