フーリエ級数展開についてです

質問

f(x)= -k (-π<x<0)
k (0<x<π)
f(x+2π)=f(x)

について

(1) フーリエ級数展開せよ

(2) (1)の結果を用いて(1-1/3+1/5-1/7+1/9・・・)の値を求めよ

という問題について

(1)は 2k/π∑sin(nx)/n となったのですがこれは正しいのでしょうか？

また、この結果をどう使えば(2)が求められるのでしょうか

回答お願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。

＞(1)は4k/π∑sin(nx)/n　となってました、質問後の訂正の仕方が分からなかったため2k/π∑sin(nx)/n のままにしてしまっていました。

　了解です。質問文の訂正はお礼欄か補足欄でするしかありませんからね。

　さて　4k/π∑sin(nx)/n　のフーリエ正弦係数 bn=4k/(nπ) ですが、nが偶数のときも本当にこうなりますか？
　定積分の計算でcos(nx)に値(x=π)を代入するところを、よく注意してください。
　いつも cos(nx)=-1 になるとは限りませんよ。

お礼

nが奇数、つまりn=2m-1(m=1、2、3、・・・)として　4k/π∑sin(2m-1)x/(2m-1)
としてx=π/2を代入すればよかったんですね。

nが奇数のときだけ値をとることまで求めておきながらこんなミスをしていました。
詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

info22_

(2)は(1)が正しい結果を得られなければ求められません。

(2)は(1)の結果にx=π/2を代入した式から導けますが、
肝心の(1)のフーリエ級数展開が間違っていては代入しても意味がありません。

もっとも(2)も級数の式が奇数項からだけ構成され、しかも符号が交互に変わることから
偶数項がゼロで奇数項だけが残ることから、(1)のsinの項がn=2mの項の係数an=0,n=2m-1の項の係数anが残らないといけません。という観点からanの積分をnの偶、奇で積分が正しく出来ているか？再チェックしてみてください。

参考URL：

http://ufcpp.net/study/dsp/fourierseries.html

お礼

参考になりました、ありがとうございます。

回答No.1

Mr_Holland

＞(1)は 2k/π∑sin(nx)/n となったのですがこれは正しいのでしょうか？

　惜しいです。
　恐らくフーリエ正弦級数を求める定積分でミスをしていると思います。
　nが偶数か奇数かで分けて、三角関数の値がいくつになるか考えてみて下さい。

(2) フーリエ級数展開したxに分かりやすいある値を入れて見て下さい。
　　そして、xがその値のときのf(x)を定義式から求めて、等式を立ててください。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

(1)は4k/π∑sin(nx)/n　となってました、質問後の訂正の仕方が分からなかったため
2k/π∑sin(nx)/n のままにしてしまっていました。