材料力学：熱応力を扱う際のひずみの考え方について

質問

初めまして。
熱応力を扱う際に、ひずみをどのように計算すれば良いかについて悩んでいます。
例えば、不静定問題で両端固定の部材の熱応力を扱う場合。

両端固定されている部材は、もとの長さがa0で、
自由に熱膨張できる（両端が自由）場合、
ΔTだけ温度が変化すると長さがa1になるとします。

この部材の両端を固定して、ΔTだけ温度を上昇させるとします。
このとき、部材に生じるひずみεは、大体どの教科書でも
ε=(a1-a0)/a0
として計算されています。
解説としては、温度変化で伸びたはずの部分を圧縮したとして考える、とあります。

でも、温度変化で伸びたはずの部分を圧縮したと考えるのだったら、
もとの長さa0をa1としてひずみεは
ε＝(a0-a1)/a1
とするのではないでしょうか。

この考え方は、どこで間違っているのでしょうか？

ご教授よろしくお願いします!!m(_ _)m

回答No.8

foomufoomu · ベストアンサー

前の説明に間違いがありました。

＞次に、(3)式は、ε=ε1+ε2+…+ε5 となっていますが、
＞　・・・・
＞のような式にしなければなりません。

の部分は、つぎのように直します。

次に、(3)式は、ε=ε1+ε2+…+ε5 となっていますが、これでは、ε1のときにのびた0.2λの部分は、最後まで分母は21℃の状態を保ったまま変化しないという条件になっています。当然この部分も温度上昇はあるわけで、最終的には ε1も 25℃のときの長さを基準に考えないといけないということで
ε1 = 0.2λ / (L+λ)
になります。以下ε5まですべて分母は (L+λ) が正解です。

お礼

お返事が遅れてしまい申し訳ありませんでした。
大変分かりやすい回答どうもありがとうございました。
おかげさまで、ひずみの問題に関して深く考えることができました。
今後ともよろしくお願いいたします。

回答No.7

foomufoomu

1日考えて、だいぶ考えがまとまってきましたので、ずばり、リンク先の間違いを説明しましょう。

リンク先の式は、
例えば，温度変化が1度毎に起きて，圧縮もその都度生じるとする。
20℃→21℃　ε1=0.2λ/(L+0.2λ)　・・・(1)
21℃→22℃　ε2=0.2λ/(L+0.2λ)　・・・(2)
25℃になるまでのひずみは　ε=ε1+ε2+…+ε5=λ/(L+0.2λ)　・・・(3)
温度変化の刻みを細かくしていくと　ε→λ/L　となります。

ですが、まず、ひずみ率の計算では、ひずみの無いときの長さを基準にしなければなりません。
したがって、(2)式は２２℃のときの長さが分母になるので、
ε2=0.2λ/(L+0.4λ)
が正解です。

次に、(3)式は、ε=ε1+ε2+…+ε5 となっていますが、これでは、ε1のときにのびた0.2λの部分は、最後まで21℃を保ったまま変化しないという条件になっています。当然、この部分も温度上昇はあるわけで、正しくは
ε = ε1*5/1 + ε2*5/2 + ε2*5/3 + … + ε5*5/5
のような式にしなければなりません。
ほんとはこれでも微妙に誤差があるのですが、このような「でたらめもいいとこ」な説明を深く考えても意味が無いので、このへんにしておきましょう。これで、
ε ≒ λ/(L+λ)
に、なります。ですから、この式のことは忘れましょう。

ところで、これを考えているうちに、気になってきたことがありまして、
熱膨張の定義は
L1 = L0*{1 + (t1-t0)*α}
となっていて、基準温度 t0(普通20℃)のときの長さL0を基準に考えなければなりません。
したがって、t1→t2の計算は厳密には、
L2 = L0*{1 + (t2-t0)*α} = L1*[{1 + (t2-t0)*α}/{1 + (t1-t0)*α}]
としなければなりません。
これが、ひずみ率はひずみが無いときの長さを基準に考える、ということと打ち消しあって、もしかしたら、分母はa0なのではないか、という気がしてきました。。。うーん。

回答No.6

drmuraberg

「仮想」という言葉は理解が難しいようです。

紹介した説明に解りやすいように補足すると次のようになります。
（　　）内が補足文です。

温度＋１℃上昇、歪みε１が発生、（これに応力σ１を加え試験片を長さLに戻す）。
更に＋１℃上昇、歪みε２が発生、（これにさらに応力σ２を加え試験片を長さLに戻す）。
・・・・・・・
更に＋１℃上昇、歪みεｎが発生、（これにさらに応力σｎを加え試験片を長さLに戻す）。

この過程の合計歪みεは
ε=ε１＋ε２＋・・・＋εｎ
となります。

つまり、各ステップでλ/n伸びた物を、押し縮めています。
押し込んでいる総応力σ（熱応力に相当）は
σ＝σ１＋σ２＋・・・＋σｎ
となります。

ここで、質問者の疑問「なぜ縮め戻す前の長さが基準に成らないのか？」が出てきます。
確かに中間式ではL+λ/nが分母に出てきています。疑問の通りです。

しかし、ステップｎを∞にしてしまうと、λ/nは消えてしまうのです。
この過程を、温度上昇に伴い試験片は無限小伸びと被圧縮を繰り返し、最終的な
熱応力状態になると理解するわけです。
（無限のステップも有限の時間内に行えることは「アキレスと亀」の逆理でご存知と思います。）
試験片は温度上昇に伴う伸びを「実際は」示していません。これが「仮想」歪みの意味です。

お礼

ご回答いただきましてまことにありがとうございます！
お忙しいところ、私の質問に対して真摯に答えていただいたこと、
本当に感謝いたします。

実は、この質問を立ち上げる前に、リンクを貼っていただいた質問も
参照させていただいておりました。

しかし、それではどうにも納得できずに、というか僕の頭では理解できずに
このような質問をさせていただきました。

理解できないのは、「仮想」というところではなく、
議論の結果最終的に出てくる答え
ε=(a1-a0)/a0
です。

なぜなら、その答えでは次のような状況ではどうしても矛盾と思えるような状況が
でてきてしまうからです。

たとえば、仮に
両端固定で熱膨張した部材の歪みが
ε=(a1-a0)/a0
であったとします。
部材の固定を少し外したら、部材は少し伸びて、歪みも若干解消されるでしょう。
しかし、このときの歪みを上の式のように計算すると、
部材が伸びているのに、歪みも大きくなるという矛盾が生じてしまいます。

また、仮に両端固定で熱膨張した部材の歪が
ε=(a1-a0)/a0
であったとします。
でも、部材を自由に熱膨張させて、
その後部材をa0に圧縮すると、歪みは
ε=(a0-a1)/a1
となります。

この二つは、温めと固定の順番が違うだけです。
でも、この二つの歪は違ってしまいます。

これら２つの矛盾は、実は熱膨張による歪みは、
ε=(a1-a0)/a0≒-(a0-a1)/a1
という近似を使っているのだとすると解消します。

でも、いくら無限のステップを考えたとしても、
最終的な答えが
ε=(a1-a0)/a0
なら、矛盾は解消されません。
それか、僕の考えている状況が間違っていることになります。
でも僕には、どこが間違っているかわかりません。

回答No.5

foomufoomu

前の説明で納得しないかもしれないので、別の説明をしてみます。

ここに長さLの棒があって、T1→T2の温度変化でλだけ長さが伸びるものとします。
この棒をまず長さL+λに引っ張って、その後T1→T2に温度を上げると、このときのひずみ率は０になるはずです。

これを計算してみると、
まず、棒をL+λの長さに引っ張ります。ひずみ率は
ε1=-λ/L です。
つぎに温度を上げるのですが、回答3でいう仮想ひずみの方法で計算すると、
ε2=λ/(L＋λ)
となって、この2つを足しても０になりません。
理由は、ひずみを受けた棒がさらにひずむとき、最初のひずみの影響を考慮していないからです。

お礼

ご回答いただきましてまことにありがとうございました！
下にいただいたご回答と合わせまして御礼申し上げます。

今後もお時間がございましたら、ぜひ議論に参加いただけますでしょうか。
よろしくお願いします！

回答No.4

foomufoomu

回答３（というか、リンク先）は間違ってますよ。
といっても、普通は、回答３のように解くのですけど。理由は回答１に書いたように、普通、長さの変化は無視して考えるからです。

回答３で間違っている部分は、すでに圧縮ひずみを受けている棒の圧縮を、ひずんでいない棒の圧縮と同じに考えていることです。（繰り返しますが、普通はこのように考えるのです。）
この方法だと、はじめに１ｍの棒があって（どこまでも弾性変形が可能な材料であるとして）、かりに力Pを受けると1cm縮むなら、100pでは長さが０になってしまうことになります。（繰り返しますが、普通はこのように考えるのです。）

たぶん、リンク先の式は、正しくは、
20℃→21℃　ε1=0.2λ/(L+0.2λ)
21℃→22℃　ε2=0.2λ/(L(1+ε1)+0.2λ)
みたいな式になるんじゃないかと思います。

ただ、この後、塑性変形について習うと、こんな細かなことを考えても意味が無いことがわかります。ここは単純に、膨張の場合は、「最初の長さを基準にする」（そうしたほうが、多くの場合、計算が簡単になるから）と覚えておけば十分です。

回答No.3

drmuraberg

大切な点は仮想歪みを考えていると言うことです。

過去の「教えてGoo」に解りやすい回答が有ったので紹介します。
http://okwave.jp/qa/q2517600.html

この例では温度が２０℃から２５℃に上がり、その温度上昇を１℃区分と
しています。
その結果
歪εの式は仮想変形をλ、材料の元の長さをLとして
ε=ε1+ε2+…+ε5=λ/(L+0.2λ)
で与えられています。
回答者が言うように、温度区分をｎとすれば
ε=ε1+ε2+…+εn=λ/(L+λ/n)
ここでnを無限に取れば、n→∞
ε=lim(n→∞）｛λ/(L+λ/n)｝=λ/L
となります。

熱応力の式では、変形した物を変形し返すのではなく、あくまでも
仮想的な微笑変形を押さえ込んだ時に最終的に発生する応力です。

近似とかで出てくる物では有りません。
物理ではよく仮想変位、仮想仕事等で「仮想」が出てきます。

回答No.2

drmuraberg

言葉のあやの様な感じがするでしょうが、
＜解説としては、温度変化で伸びたはずの部分を圧縮したとして考える、とあります。＞
で大切な点は「伸びたはず」です。
つまり、これは伸びていません、したがって基準はあくまでもa0です。

これに対して、
＜でも、温度変化で伸びたはずの部分を圧縮したと考えるのだったら、
もとの長さa0をa1としてひずみεは
ε＝(a0-a1)/a1＞
では、
「伸びたはず」では無く、「伸びたものの部分」となります。
つまり、仮想歪みを考えているのでは無く、実際の歪みを考えている事に成ります。

お礼

すみません、質問(2)のところはいろいろおかしいです。
まず、最初の仮定ですが、
「今回考える変形は、弾性領域内の変形であるとします。」
としましたが、弾性変形領域、塑性変形領域を問いません。

また、
「ということは、この部材は無限に仕事ができます。
(部材が伸びる時、部材は外部に仕事をしている)」
と書きましたが、というよりも単に、
歪みを少し解放したにもかかわらず、歪みは大きくなっている。
という点が矛盾していると思います。

補足

ご回答いただきましてありがとうございました！
大変勉強になります。

drmuraberg様のおっしゃることは、

仮想歪みは、実際の歪みと違って実際に伸びているわけではない。
したがって基準はあくまでa0である。

というように理解してよろしいでしょうか。
そのような理解の上で、お忙しいところしつこく聞いてしまい大変恐縮ですが、
2つ質問させていただいてもよろしいでしょうか。

(1)歪みεの定義式　ε=（変位）/（もとの長さ）
drmuraberg様の考えでは、分母であるもとの長さは、
仮想なんだから実際に伸びていない。だからa0である、としています。
しかし分子の変位のところでは、部材は仮想的に伸びているものとしています。

同じ仮想的状況を考えているにもかかわらず、一方では部材は伸びていない、
一方では伸びているとできる理由はどのようなものでしょうか？
つまり、仮想的に伸びているとするならば、
ε=(a1-a0)/a1
とすべきだろうし、
仮想なんだから伸びていないとするのならば、
ε=(a0-a0)/a0　(=0)
とすべきなのではないでしょうか？

(2)上とほぼ同じ質問ですが次のような状況の時、部材の歪みはどう計算されるでしょうか？

先ほどお答えいただいた質問の時と同じ部材について考えます。
つまり、長さがa0で、自由に熱膨張できるとき、温度をΔTだけ上昇させると
長さがa1になる部材です。
今回考える変形は、弾性領域内の変形であるとします。
(塑性変形は考えません)

この部材の両端を固定して、温度をΔTだけ上昇させます。
このとき生じる歪みは、drmuraberg様や教科書のように考えると、
ε=(a1-a0)/a0
となります。
では、この部材の固定を片方だけほんの少しだけ緩めて、
部材の長さをほんの少しだけ(daだけ)長くした時、
部材の歪みはどうなるでしょうか？

やはり、長さa0を基準として、
ε={(a0+da)-a0)}/a0
となるでしょうか。
だとすると、歪みはいつ解放されるでしょうか。
このまま部材の固定をどんどん緩めていって、
部材の長さをa1にしても、部材には
ε=(a1-a0)/a0
の歪みが残ってしまいます。
もっともっと部材を長くしていくと、歪みも無限に大きくなります。
ということは、この部材は無限に仕事ができます。
(部材が伸びる時、部材は外部に仕事をしている)
これはおかしいですね。

では、
ε={(a0+da)-a1)}/a0
でしょうか。
これはそもそも歪みの定義
ε=(変位)/(もとの長さ)={(変形後の長さ)-(変形前の長さ)}/(変形前の長さ)
を満たしていませんね。

では、
ε={(a0+da)-a1)}/a1
でしょうか。
しかし、drmuraberg様のように考えると、
部材は実際にはa1になっていないのだから、分母にa1をとるのはおかしいですよね。

それでは、このときの歪みは一体どうやって計算したらいいでしょうか？

大分文章が長くなってしまいました。
もし、文章中に無礼な言葉遣いがございましたらお詫びいたします。
でも、drmuraberg様のご意見を真剣に検討したいと考えています。
大変お手数ではありますが、今回の質問もぜひ御一考ください。
宜しくお願い致しますm(_ _)m

回答No.1

foomufoomu

＞もとの長さa0をa1としてひずみεは
＞ε＝(a0-a1)/a1
＞とするのではないでしょうか。
その通りだと思います。
しかし、通常、応力解析では、ひずみの量は部材の長さに対してごく小さいので、変形後も部材長は変わらない（へんな言い方ですが）ものと考えるのが普通で、式の分母がa0かa1なのかに、とんちゃくしないことが多いのです。
たとえば、鋼が降伏点まで変形したときのひずみ率は1/1000程度ですから、a1=1001,a0=1000と仮定して
ε0=(a1-a0)/a0=0.001
ε1=-(a0-a1)/a1=0.00099000999000....（ひずみ率は圧縮を正とするのが普通なので）
両者の差は
ε0ーε1=9.99*10^-7
と、きわめて小さいので、違いは無視してしまっているのでしょう。

補足

ご回答いただきましてありがとうございました！
以前受けた材料力学の点数を、上げてもらわなければいけないかもしれません（笑）
実際のひずみを考える上では、両者の差は非常に小さいものになるのですね。
応力解析は未だ経験がありませんが、非常に興味があります。
今後そちらに関してお伺いすることもあるかもしれませんが、
その際はぜひ宜しくお願い致します。