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指数の拡張の問題

a>0とする。a^1/3+a^-1/3=4のとき,次の式の値を求めよ。 (1)a+a^-1 (2)a^1/2+a^-1/2 という問題が宿題にあるのですが、どうやって解いたらいいのかわかりません。 途中式も教えて下さい。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • tomokoich
  • ベストアンサー率51% (538/1043)
回答No.2

a^(1/3)=A,a^(-1/3)=Bとおく A+B=4,AB=1 (1)a+a^(-1) =(a^(1/3))^3+(a^(-1/3))^3 =A^3+B^3 =(A+B)(A^2-AB+B^2) --->A^2+B^2=(A+B)^2-2AB=4^2-2×1=14 =4×(14-1) =4×13=52 (2)a^(1/2)=A,a^(-1/2)=Bとおく a+a^(-1) =(a^(1/2))^2+(a^(-1/2))^2 =A^2+B^2=52 (A+B)^2=A^2+2AB+B^2=2+52=54 A+B=√54=3√6 a^(1/2)+a^(-1/2)=3√6

greenreaf
質問者

お礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2965)
回答No.3

(1)a^(1/3)=p とおきます。するとa^(1/3)+a^(-1/3)はp+1/p=(p^2+1)/pと表され、これを3乗すると (p^6+3p^4+3p^2+1)/p^3=(p^6+1)/p^3+3(p+1/p) となります。このうち(p^6+1)/p^3は(a^2+1)/a=a+1/aに等しいので、 (p+1/p)^3=a+1/a+3(p+1/p) a+1/a=(p+1/p)^3-3(p+1/p)    =4^3-4*3    =64-12    =52 となります。 (2)a^(1/2)+a^(-1/2)=(a+1)/a^(1/2)を二乗すると (a^2+2a+1)/a=(a^2+1)/a+2        =52+2        =54 となるので、a^(1/2)+a^(-1/2)はその平方根です。

greenreaf
質問者

お礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

  • Tofu-Yo
  • ベストアンサー率33% (36/106)
回答No.1

与式a^1/3+…=4の両辺を3乗すればまず(1)がわかるはずです。 (2)は最初にその2乗を求めてください。(1)を使います。そしてa>0に留意すれば求めたいものが求まるはずです。

greenreaf
質問者

お礼

上のふたつと合わせて考えるとよくわかりました。 ありがとうございました。

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