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平均の定理
井口 豊(@Iguchi_Y)の回答
α,βの代わりにa,bを使っています。 まず, (1)a=b なら等式が成立。 (2)a<b のとき f(x)= e^x* sin(x)とおく xで微分して f'(x)= e^x* sin(x)+e^x* cos(x) = e^x*( sin(x)+cos(x)) 中間値の定理より (厳密には,連続性や微分可能性の吟味が必要でだが,それは満たされている) f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) となるc(a < c < b) が存在 sin(x)+cos(x) = √2sin(c+π/4) を利用して, e^b* sin(b)-e^a* sin(a) =e^c*(sin(c)+cos(c)) *(b-a) = √2e^c*sin(c+π/4)*(b-a) ここで -1 ≦ sin(c+π/4) ≦ 1 だから -√2e^c*(b-a) ≦ e^b* sin(b)-e^a* sin(a) ≦ √2e^c*(b-a) |e^b*sin(b)-e^a*sin(a)|≦√2(b-a)e^c <√2(b-a)e^b (1),(2)より |e^b*sin(b)-e^a*sin(a)|≦√2(b-a)e^b
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