数学の質問です。 平均値の定理について

質問

数学の質問です。

平均値の定理の不等号について…

＜問題＞

a<bの時、e^b-e^a≦e^b(b-a)…＊がなり立つことを示せ。

平均値の定理を使って解いていくと
｛e^b-e^a｝/(b-a)＝e^c なるｃがa<x<bの範囲に存在する・・・

ここから＊式に持ち込むとき、e^xが単調増加であることを用いて、
e^c<e^b
とできると思うんですが、＊式のように≦となり等号が入るのはなぜでしょうか？

a<x<bの範囲のｃですからb=ｃとなることはないですよね？？？

教えてください。。お願いします。。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

その証明でよいと思います。
実際、a＜b の時 e^b - e^a ＜ (e^b)(b - a) が成り立ちます。

e^b - e^a ＜ (e^b)(b - a) が成り立てば、
e^b - e^a ≦ (e^b)(b - a) も成り立っていますよね。
P＜Q　⇒　(P＜Q または P＝Q)　⇔　P≦Q　ですからね。

お礼

そういうことですか・・・。
お礼が遅くなりまして申し訳ありません。

回答ありがとうございました。