平均の定理

質問

数学３で宿題が出たんですがわかりません。
誰か解説お願いします。
平均の定理を利用して、次のことが成り立つことを示せ。
α≦βのとき
|e^βsinβ-e^αsinα|≦√2(β-α)e^β

回答No.2

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

α，βの代わりにa,bを使っています。

まず，
（１）a=b なら等式が成立。

（２）a<b のとき

f(x)＝ e^x* sin(x)とおく
xで微分して
f'(x)= e^x* sin(x)＋e^x* cos(x)
= e^x*( sin(x)＋cos(x))

中間値の定理より
（厳密には，連続性や微分可能性の吟味が必要でだが，それは満たされている）
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
となるｃ（a < c < b) が存在

sin(x)＋cos(x) = √2sin(c＋π/4)
を利用して，

e^b* sin(b)-e^a* sin(a) =e^c*(sin(c)+cos(c)) *(b-a)
= √2e^c*sin(c＋π/4)*(b-a)
ここで
-1 ≦ sin(c＋π/4) ≦ 1
だから

　-√2e^c*(b-a) ≦ e^b* sin(b)-e^a* sin(a) ≦ √2e^c*(b-a)
|e^b*sin(b)-e^a*sin(a)|≦√2(b-a)e^c ＜√2(b-a)e^b

（１），（２）より
|e^b*sin(b)-e^a*sin(a)|≦√2(b-a)e^b

お礼

ありがとうございました。
おかげで助かりました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

一般には「平均値の定理」と呼ばれる内容ですね。
f(x)＝ e^x* sin(x)と置けば、この関数は連続となるので、平均値の定理が成り立ちます。
あとは、加法定理を用いたりして計算すれば、不等式を示せるはずです。