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微分・積分の応用
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ヒント x^(1/x) は x=e で最大値を取ります。 まずこれを証明しましょう。
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- naniwacchi
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こんばんわ。 指数のままでは比較するのは難しいので、対数をとってから考えます。 過去によく似た質問もありました。 http://okwave.jp/qa/q5675979.html ご参考まで。
お礼
e^πとπ^eで比較が難しいからlog(e^π)とlog(π^e)で比較する f(x)=x-elogx とする f'(x)=1-e/x e<x のときf'(x)>0,よってf(x)は単調増加 e<πだから0=f(e)<f(π)=π-elogπ よってπ-elogπ>0 π>elogπ よってe^π>e^(elogπ)=π^e 証明できました ありがとうございました
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参考URLを見たらいろんな解きかたがあるんですね x>0として f(x)=x-elogx f(x)=logx/x f(x)=x^(1/x) f(x)をどうしてそう置くのかいちばんわかりやすかったのはtknakamuriさんのです でも解説を読むとnaniwacchiさんの置きかたもよくわかりました 微分がいちばんきつかったのはtknakamuriさんのです 微分がいちばん簡単だったのはnaniwacchiさんのです f(e)とf(π)の大小関係がわかると、そこからe^π>π^e までいくのがいちばん簡単だったのはtknakamuriさんのです ありがとうございました
補足
y=x^(1/x) (x>0) とする x>0,y>0だから logy=logx/x y'/y=(1-logx)/x^2 y'=x^(1/x)*(1-logx)/x^2 x>0だからx^(1/x)/x^2>0 よって0<x<e のときy'>0 x=e のときy'=0 e<x のときy'<0 よってy はx=e のとき最大 e<πだからe^(1/e)>π^(1/π)>0 eπ乗するとe^π>π^e