微分・積分の応用

質問

微分・積分の応用問題なのですが、ヒントもなくて全然解けません
e^πとπ^eはどちらが大きいですか

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

ヒント
x^(1/x) は x=e で最大値を取ります。
まずこれを証明しましょう。

お礼

参考URLを見たらいろんな解きかたがあるんですね
x>0として
f(x)=x-elogx
f(x)=logx/x
f(x)=x^(1/x)

f(x)をどうしてそう置くのかいちばんわかりやすかったのはtknakamuriさんのです
でも解説を読むとnaniwacchiさんの置きかたもよくわかりました
微分がいちばんきつかったのはtknakamuriさんのです
微分がいちばん簡単だったのはnaniwacchiさんのです
f(e)とf(π)の大小関係がわかると、そこからe^π>π^e までいくのがいちばん簡単だったのはtknakamuriさんのです
ありがとうございました

補足

y=x^(1/x) (x>0) とする
x>0,y>0だから logy=logx/x
y'/y=(1-logx)/x^2
y'=x^(1/x)*(1-logx)/x^2
x>0だからx^(1/x)/x^2>0
よって0<x<e のときy'>0
x=e のときy'=0
e<x のときy'<0
よってy はx=e のとき最大
e<πだからe^(1/e)>π^(1/π)>0
eπ乗するとe^π>π^e

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

指数のままでは比較するのは難しいので、対数をとってから考えます。

過去によく似た質問もありました。
http://okwave.jp/qa/q5675979.html

ご参考まで。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5675979.html

お礼

e^πとπ^eで比較が難しいからlog(e^π)とlog(π^e)で比較する
f(x)=x-elogx とする
f'(x)=1-e/x
e<x のときf'(x)>0,よってf(x)は単調増加
e<πだから0=f(e)<f(π)=π-elogπ
よってπ-elogπ>0
π>elogπ
よってe^π>e^(elogπ)=π^e
証明できました
ありがとうございました