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微分積分学
受験勉強中で、学校から買った参考書をやっています。今、微分積分のうち微分のところを勉強中なのですが、途中ページの応用問題で行き詰りました。 この教科書がちょっと問題で、一番後ろに答となる数字しか解答がついていないので、解き方が分からず困っています。 丸投げしているのではなく、理解を深めたいので協力お願いします。 「三角形ABCで、角BがΔBかわるとき、面積Sはほぼどれだけかわるか。ただし、AB=5、BC=4、∠B=30°とする。」という問題です。 とりあえず、まったく分からなかったので先生に聞いたら面積Sの式を求め、それを微分することから求めてみろと言われました。 面積Sは1/2AB・BC・sin30°ですよね。 これを微分はしたのですが、そこからさっぱり何をしていいのかわかりません。 なんといっても解説がついていないので、困ります。 ヒントだけでもいいので、進展できるものを下さい。 宜しくお願いします。m(_ _)m
- netekun
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まず、三角関数を微分するときは弧度法を使います。30°= π/6 面積をy, ∠B = x とおきます。 y = 1/2AB・BC・sin x = 10 sin x yをxで微分すると(何を何で微分したかが大事です）、 y'= 10 cos x y'というのは何を意味しているかというと、xが小さい量Δxだけ増えたときに、yがほぼy'Δx だけ増えるということです。 x = π/6 のとき、y' = 10 cos(π/6) ですから、xが小さい量Δxだけ増えると、yはほぼ{10 cos(π/6)}Δx 増えます。 これでいかがですか。よくわからなかったら補足してください。
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- shibainumodoki
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あまり自信ないですが、 △ＡＢＣの面積をＳ、∠Ｂが(30°+ΔB) になった時の面積を Ｓ+ΔＳ とおくと、 Ｓ＝(1/2)ＡＢ・ＢＣ・sin30°＝5 Ｓ+ΔＳ=(1/2)ＡＢ・ＢＣ・sin(30°+ΔB)=10・sin(30°+ΔB)=5(cocΔB +√3 sinΔB) （←加法定理より） だから変化量ΔＳ=(Ｓ+ΔＳ)-Ｓ を求めればいいのでは？ 微分するのであれば、ΔB→0 として ΔＳ/ΔB →dS/dB ということでしょうかねぇ？
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