RC回路にRを追加したときの周波数特性

質問

単純なRCのローパスフィルタのCに抵抗を直列接続した場合の，周波数特性のイメージが湧きません。

RCフィルタでは高周波になるにつれゲインが下がるのに対して，そのCに直列にRをつなぐことでゲイン低下の制限していると思う。でもRをつなぐことで，より低域からゲインが落ち始め，カットオフ周波数は下がる？
　位相の変化が関係してそうですが，どうもイメージできません。誰か教えて下さい。

回答No.4

Teleskope · ベストアンサー

── 10k───┐
　　　　　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　1μF
　　　　　　　　　　　　　│
　　　───────┘

　遮断周波数は16Hzである。

　 　 ──10k──10k─┐
　　　　　　　　　　　　　　 │
　　　　　　　　　　　　　　1μF
　　　　　　　　　　　　　　 │
　 　 ────────┘

　8Hzに低下。
　抵抗が大きくなったゆえ低下して当然。

　　　　　　　　　 ┌────出力
　　　　　　　　　 │
　 　 ──10k─┴─10k─┐
　　　　　　　　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　 1μF
　　　　　　　　　　　　　　　　│
　 　 ─────────┘

>
>例えばある周波数でのＣの抵抗成分をAとすれば
>RC型(1μFの所）では『2R』とAの抵抗分割。
>リードラグ型(出力の所）ではRとRとAの抵抗分割
>になるから，どの周波数帯でもリード・ラグ型の
>ほうがゲインは大きくて…

この図で見る限りまったく異義なしです。

謎解きはボード線図も併用するのがよろしいかと。一刻も早くゲダツされる事を祈ります。

回答No.3

Teleskope

分かりやすく表現したつもりで「伝達関数の分子はHPFだ」と書いたが気が咎めるので補足します。

　伝達関数
　　Y = (1+jkＷ)/(1+jＷ)　
　これを分子の各項ごとの分数にわける。
　　　= 1/(1+jＷ) + jkＷ/(1+jＷ)
　これをお手持ちのラプラス表などに照らし合わせて欲しいのだが、最初の分数は単純なLPFである。第二の分数は係数 kが掛かってるがそれを除けば単純なHPFである。係数kは 1より小さいので減衰器（アッテネータ）である。Yの式を回路図で表す。

V1─┬───LPF─┬── V2
　　　│　 　　　　　　　│
　　　│　 　　　　　　　│
　　　└─ ｋ ─HPF─┘

　LPF出力とHPF出力が加算されて出力となる。ｋで減衰されるぶんHPF側の信号は小さい。　LPFを通る信号は周波数が高くなるにつれて減少するが、いっぽうHPFからの信号が大きくなる。ただしその大きさは元の信号よりＫだけ小さい。
　位相特性は、HPFは遮断周波数以上になると位相遅れが0であるゆえ、位相が0に戻る理由がはっきり見える。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげさまでＬＰＦとＨＰＦが加算されているという，
新たな見方がわかりました。
ただ，やっぱり，はっきりしないのがリード・ラグ型にすることで遮断周波数が落ちるというところです。伝達関数を解けば答えはそうなるのですが。。。
例えばある周波数でのＣの抵抗成分をAとすれば，RC型ではRとAの抵抗分割。リード・ラグ型では，RとRとAの抵抗分割になるから，どの周波数帯でもリード・ラグ型のほうがゲインは大きくて，遮断周波数も伸びるのではと，最初に考えたものですから。
　なにか根本的に考えが間違っていますでしょうか？
お時間ありましたら，ご意見いただければ幸いです。
今回はどうもありがとうございました。もう少し考えてみます。

回答No.2

Teleskope

それはリード・ラグ フィルタです。
　下図でZ1=R1、Z2=R2+1/(jωC)

　──Z1─┬──
V1　　　　　Z2　　　V2
　────┴──

伝達関数
　　Y = V2/V1
　　　= Z2/(Z1+Z2)
　　　= (1+jωCR2)/(1+jω(CR1+CR2))
であるがここで
k=R2/(R1+R2)、ωo=1/(CR1+CR2)、Ｗ=ω/ωo
と置き換えて(*)
　　Y = (1+jkＷ)/(1+jＷ)
と表す。
　一般に、伝達関数では分母はLPFで分子はHPFである。
各々の遮断周波数は実部=虚部になる所である。よって
分母LPFではω=ωo=1/C(R1+R2)である。R2も参加するのだ。
分子HPFの遮断周波数は分母のk倍であることが丸見えである。
すなわちk倍の所から上はLPFとHPFが打ち消しあって平坦な特性に戻る。
　ちなみにYの式でωを十分大きくするとY≒k=R2/(R1+R2)になる。つまり抵抗だけの分割になる。高周波ではCのインピーダンスが小さくなるのだから当然である。

　なお位相の周波数特性は
　　tanφ=-(1-k)/(ωo/ω+ω/ωo)
である。ちなみに
ω≒0では分母第1項が大きいゆえtanφ=0である。
ω>>ωoでは分母第2項が大きいゆえtanφ=0である。
すなわち位相は0度から始まって、LPFとしての-90度に向かって進む(Lead)が、
HPFが効き始めるに従って停滞(Lag)し、十分高域では0度に戻る。
以上。

　式変形などを知りたければ要求してください。

(*)こうする理由は、下記のNo3(拙書)の冒頭を参考に。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=656982

回答No.1

pen2san

RC(R1,C1)で構成されたLPFにC1に直列な抵抗R2を追加するとPoleとZeroが出来ます。

PoleとはLPFのf0のことで、Zeroによりロールオフの特性が出ます。
ご指摘のR2によるf0のズレですが、R=R1+R2となり3dB落ちの周波数が低い方向に移動します。
しかし、R1>>R2の場合はR2の影響は少なく、場合によっては無視する事もできます。
位相はLPFの場合、充分に高い周波数では-90度となりますが、R2を入れると0度に戻ります。

_________
　　　　　\
　　　　　　\
　　　　　　　\
　　　　　　　　\
　　　　　　　　　\_____________R2を追加した場合
　　　　　　　　　　\ 途中からフラットになる
　　　　　　　　　　　\
　　　　　　　　　　　　\
　　　　　　　　　　　R2が無い場合、理論的には
　　　　　　　　　　　　　限りなく減衰して行く

_____ 　　　　　　　　　　________R2あり
　　　\　　　　　　　　/ 0度
　　　　\　　Phase　/
　　　　　\　　　　　/
　　　　　　\_______/
　　　　　　　\
　　　　　　　　\　　　　　
　　　　　　　　　\_______________ -90度
　　　　　　　　　　　　　R2なし

ラプラス変換しボード線図を書けば簡単に解けます。

このＨＰは半角スペースを無視するので図を描くには不適当ですね。また、日本語の環境ではバックスラッシュ(&h1B)が\マークになるので読み替えて下さい。
このＨＰは図形による技術的な質問回答をするには不適切ですね(笑）

お礼

回答ありがとうございます。
その遮断周波数が下がってくるのは，
PoleとZeroという概念を理解する必要があるようですね？
まだまだ知識不足です^^；
もう少し考えてみます。
今回はどうもありがとうございました。