量化子の入れ子について

質問

∀x∃yと∃x∀yの違いがいまいちよくわかりません。

分かりやすく理解する考え方等あるでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「∀x∃y」と「∃x∀y」だと変数も入れ替わっちゃうから比較がしづらい.
ので「∀x∃y」と「∃y∀x」でいくけど, そもそも「∀」とか「∃」の意味が分かっていれば問題にならない.
・∀: 「どんな値に対しても～」
・∃: 「適切な値を持ってくれば～」
で, 左から順に見ていけばいい.

で問題:
変域を整数としたときに
∀x∃y(x+y=0)
∃y∀x(x+y=0)
のそれぞれの真偽について考えてみてください.

お礼

回答ありがとうございます。

・∀: 「どんな値に対しても～」
・∃: 「適切な値を持ってくれば～」

という理論からすると

∀x∃y(x+y=0)
　⇒「どんなxに対しても適切なyを持ってくればx+y=0を満たす」という命題になり、これは真。例）x=5とするとy=-5でx+y=0

∃y∀x(x+y=0)
　⇒「適切な（ある）yに対してどんなxでもx+y=0を満たす」という命題になり、これは偽。例）y=5としてx=2とするとx+y≠0

となるんですね。（あってますよね？）

ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.2

Tacosan

うぃ, それで OK.

お礼

ありがとうございました