展開していいのかわからない因数分解にヒントをください。

質問

(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2)+16で、私は-8を＋にかえて(x^2-y^2)として、
(x^2-y^2+4)^2としたのですが、解答が(x-y-2)(x+y+2)(x-y+2)(x+y-2)
となっていて、先に進めなくなりました。　展開してｘでそろえてみても更に混乱してしまいました。
この場合どちらが答えを導きやすいですが？　どちらも見当違いであったらヒントなどをくれるとありがたいです。

回答No.6

kts2371148 · ベストアンサー

>> -8を＋にかえて(x^2-y^2)として
これは間違いです。
-8(x^2+y^2) の -8 を +8 にかえると、+8(-x^2-y^2) になります。
ですから、別の方法を使うことになりますが、＃５さんの回答の、
>> ポイントはx^2+y^2=(x+y)^2+(x-y)^2に気づくかどうかです。
という方法はレベルが高すぎると思います。
それで、素直に展開して x でそろえます。

与式
= x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 8x^2 - 8y^2 + 16
= x^4 + (-2y^2-8)x^2 + y^4 - 8y^2 + 16
= x^4 + (-2y^2-8)x^2 + (y^2 - 4)^2　←ここがポイント
= x^4 + (-2y^2-8)x^2 + {(y+2)(y-2)}^2　←ここもポイント
= x^4 + (-2y^2-8)x^2 + (y+2)^2(y-2)^2

展開して x でそろえた後、
末尾（x についての定数項）を因数分解するのがポイントです。
あとはたすきがけで、たして (-2y^2-8) になり、
かけて (y+2)^2(y-2)^2 になるものを見つけます。
かけるパターンとしては、次の４通りしかありません。

(y+2)(y-2) と (y+2)(y-2)　→×
-(y+2)(y-2) と -(y+2)(y-2)　→×
(y+2)(y+2) と (y-2)(y-2)　→×
-(y+2)(y+2) と -(y-2)(y-2)　→○

ですから、

与式
= (x^2 - (y+2)(y+2))(x^2 - (y-2)(y-2))
= (x^2 - (y+2)^2)(x^2 - (y-2)^2)
= (x+y+2)(x-y-2)(x+y-2)(x-y+2)

となります。

お礼

致命的な間違えを指摘してくれてありがとうございました。
細かい解説もとても参考になりました。
あと「ここがポイント」とわざわざ示してくれて、
本当に助かりました。
ありがとうございます。

回答No.5

sansou_rr

x+yをＡ、x-yをＢと置き換えてみて考えてみてください。
ポイントは
x^2+y^2=(x+y)^2+(x-y)^2に気づくかどうかです。

お礼

置き換えのあとの与式を示してくれて助かりました。
とても参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.4

connykelly

x^2+y^2=zとおく。(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2)^2-4x^2y^2=z^2-(2xy)^2
与式=z^2-(2xy)^2-8z+16=(z-4)^2-(2xy)^2=(z-4-2xy)(z-4+2xy)
=(x^2-2xy+y^2-2^2)(x^2+2xy+y^2-2^2)
={(x-y)^2-2^2}{(x+y)^2-2^2}
ココまで来ればあとはできますね。ご自分で進めてください。

お礼

参考になる与式を示してくれて本当にありがとうがざいました。
この後は自分でやってみます。
ありがとうございます。

回答No.3

toranekosan222

どっちもだめです。

(x^2-y^2)^2=(x+y)^2(x-y)^2
2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2

これをつかってみましょー

お礼

参考になる与式を示してくれて本当に助かりました。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#35856

(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2)+16={(x+y)^2-4}{(x-y)^2-4}
={(x+y+2)(x+y-2)}{(x-y+2)(x-y-2)}
=(x-y-2)(x+y+2)(x-y+2)(x+y-2)

お礼

参考になる与式を示してくれて本当に助かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

noname#69788

＞-8を＋にかえて
意味不明です。

お礼

致命的な間違えを指摘してくれて助かりました。
ありがとうございます。