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統計熱力学の計算・・・行き詰まったァ！
こんにちは。 興味本位で統計力学の式を計算していましたら、どうしても先に進めない箇所に突き当たってしまったので、どなたか数学に強い方、教えてください。 式が複雑なので、画像を添付しました。私が分からないのは ln(V^N)/N!がln(V/N)+1になる過程です。対数の中に階乗が入っているもので、この先の計算のめどが立ちません。 お時間のある方、何卒よろしくお願い致します。
- Biyoooooon
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単に代入するだけでなく、 スターリングの公式、N>>1ならば近似的にlnN!=NlnN-Nが成立する、を 使って整理しています。
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logV-(logN!)/Nがlog(V/N)＋1に近似的に等しくなるかどうか見てみよう。 そうなるとlogN-1≒(logN!)/N ⇔ {log(N^N)-(logN!)}/N≒1 であるか？ 結論：Nが十分大きいならyes なぜか。さーてこんなのを考えてみよう。 ∑(k=0～N-1){log(1＋(k/N-k))}/N とし、N→∞とすると区分求積法から lim(N→∞)∑(k=0～N-1){log(1＋(k/N-k))}/N ＝∫[0,1] log(1/(1-x))dx ＝-∫[0,1] log(1-x)dx ＝1 (途中式省略) になる。 つまりNが十分大なら∑(k=0～N-1){log(1＋(k/N-k))}/N≒1 これをうまいことに書き変えた結果がlogN-1≒(logN!)/N だ。 すなわち計算すれば画像のように直ちに近似できることが分かった。
- Tacosan
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スターリングの公式を使って近似, かな?
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