三角形の角度計算問題

質問

中学や高校ででてくるような三角形の角度計算問題で、どうしても解けなくて困っています。問題の図を言葉で説明しますと・・・

　底辺の長さがdで、残り2辺の長さの比がa:bで、底辺に対応する角から底辺の中点に下ろした線と底辺のなす角αを求めたいのです。

　もしかしたらαは一意に決定できないのでしょうか。
　どうぞよろしくお願いします。m_ _m

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

>質問を変えまして、
>他の２辺の長さがa,bである場合はどうでしょうか。

三角形の頂点をP,Q,Rとし、QR=d ,PQ=a,PR=b とする。
また、QRの中点をSとし、PとSを結んだとき　∠PSR=αを求める
ということで良いでしょうか？

PS=h ,QR=d=2e とします。このとき、QS=SR=d/2 = e ですね。
また、∠PQR=q ,∠PRQ=r とします。
△PQRにおいて、余弦定理から
cosq = (a^2+d^2-b^2)/2ad　---(1)
cosr = (b^2+d^2-a^2)/2bd ---(2)
となります。

△PQSにおいて余弦定理から
h^2 = a^2+e^2 -2ae*cosq
（または△PRSにおいて余弦定理から　h^2 = b^2+e^2-2be*cosr）
これに、(1) （または(2)）を代入すると　h が求まります。(a,b,dだけで計算できます） ---(3)

次にもう一度、△PRSにおいて余弦定理から
cosα= (h^2+e^2-b^2)/2eh
となり、(3)で求めたhを代入すれば、cosαをa,b,dから計算することができます。
cosαが分かれば、三角比表等よりαも分かります。

この説明では、余弦定理ばかり使いましたが、a,b,dの数値によっては
hの計算などで、(sinΘ)^2+(cosΘ)^2 = 1 の性質も利用して、正弦定理も
使った方が楽な場合も有り得ます。

>「三角形が扁平した状態から、微小な高さの屋根（残りの２辺）ができた瞬間から角度αが発生して、そのまま屋根がa:bを保ったまま高く伸びていってもαは一定である」

これについてですが、上の記号を使って△PQRにおいて、線分PSをP側に延長し任意に点P'をとります。
すると、詳しい説明は省きますが、P'Q：P'R　= PQ:PR = a:b であることが導けます。なので、αは一定になると思われます。
※#3さんの方法で証明するのが、手っ取り早いでしょうね。

回答No.6

hinebot

#4です。
大変失礼しました。

>すると、詳しい説明は省きますが、P'Q：P'R　= PQ:PR = a:b であることが導けます。なので、αは一定になると思われます。

当方、大きな勘違いをしておりました。上記はでたらめです。αは一意とはなりません。
混乱させて申し訳ありませんでした。

お礼

たくさんの方からご回答頂き、ありがとうございました。

頭の固い私にも、２辺の比からαを特定できないことがよく分かりました。
２辺の長さを特定した場合の角度を求めて頂いてありがとうございました。

本来なら、一方づつお礼をするべきなのですが、失礼ながら、この欄にてまとめてお礼とさせて頂きます。
ありがとうございました。ｍ_ _ｍ

回答No.5

BBblue

αは一意に決定できないこと、こう考えてもらえばどうでしょうか？

長さｄの線分の中点を一端とし、線分と角αをなす半直線を考えます。この半直線上にとった点を第３の頂点として、元の線分の両端とつないで三角形を作ったとき、（長さｄ以外の）他の２辺の比は一定になるでしょうか？

ならない気がしませんか？
気分の問題なのでどう感じられるかわかりませんが、「ずっと遠くに点をとれば比は限りなく１:１に近づく」ことを考えてもらえば、一定にならないと納得できないでしょうか？

回答No.3

mirage70

底辺を2dとして、２辺の交点を(x,y)として(x,y)の軌跡を解けばよいのではないですか?
a≠bとき
中点(原点)との角が一定であれば、y=αxとして表せますので、軌跡がこの式になっているかどうかを確かめればよいのではないですか。
軌跡が何になるのかを求めれば、結果はわかります。

回答No.2

pancho

一意に決定できません。従って、αを求められません。
この様な問題の場合、一番極端な例を頭に描けば考えやすくなります。

まず、「底辺＝他の２辺の合計」の場合、すなわち三角形を成さないまで扁平した例を考えると、求めるαは０度もしくは１８０度になります。
しかし、適当な長さを取れば三角形として成立するケースが存在することは容易に想像でき、当然αは０や１８０度以外の値になります。

この２例から一意ではないことが解ります。

以上。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
確かに無理なようですね。間抜けな質問で失礼しました。。。
ただ、どうしても私の頭の中では、

「三角形が扁平した状態から、微小な高さの屋根（残りの２辺）ができた瞬間から角度αが発生して、そのまま屋根がa:bを保ったまま高く伸びていってもαは一定である」

ような気がしてなりません。私の頭が固いのでしょうか。

質問を変えまして、
他の２辺の長さがa,bである場合はどうでしょうか。

またよろしかったら、ご返答いただきたいです。

回答No.1

keyguy

一意ではありません。
ａ：ｂを一定に保ってその角を中点に近づけると
ａ：ｂ＝１：１でない限り角度が０または１８０度に限りなく近づきます。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
確かに無理なようですね。間抜けな質問で失礼しました。。。
ただ、どうしても私の頭の中では、

「三角形が扁平した状態から、微小な高さの屋根（残りの２辺）ができた瞬間から角度αが発生して、そのまま屋根がa:bを保ったまま高く伸びていってもαは一定である」

ような気がしてなりません。私の頭が固いのでしょうか。

質問を変えまして、
他の２辺の長さがa,bである場合はどうでしょうか。

またよろしかったら、ご返答いただきたいです。